Даны две прямые. На одной прямой выбраны точки \(A,B,C,\) а на другой прямой точки \(A_1,B_1\) и \(C_1\) таким образом, что \(AA_1\parallel{BB_1}\parallel{CC_1}\) и точка \(B\)…

Для нахождения отношения \(DE:EF\), давайте сначала обозначим координаты точек для удобства. Рассмотрим прямую, на которой лежат точки \(A\), \(B\), и \(C\). Пусть:

• \(A\) имеет координату \(0\),
• \(B\) имеет координату \(x\),
• \(C\) имеет координату \(10\).

Зная, что \(B\) находится между \(A\) и \(C\), координату \(B\) можно выразить как \(B = x\), где \(0 < x < 10\).

Теперь, давайте посмотрим на прямую, на которой находятся точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\). По условию:

• \(A_1B_1 = 3\),
• \(BC:B_1C_1 = 3:5\).

Это означает, что если \(BC = 3k\), то \(B_1C_1 = 5k\) для некоторого \(k\).

Мы знаем, что \(AC = 10\), значит:

\[ BC + AC = 10, \quad \text{или} \quad 3k + 3k = 10, \] отсюда получаем:

\[ 6k = 10 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}. \]

Теперь можем найти \(BC\) и \(B_1C_1\):

\[ BC = 3k = 3 \cdot \frac{5}{3} = 5, \] \[ B_1C_1 = 5k = 5 \cdot \frac{5}{3} = \frac{25}{3}. \]

Точка \(C_1\) должна находиться на прямой с расстоянием \(B_1C_1\) от точки \(B_1\), поэтому если \(B_1\) находится на координате \(y\), то:

• \(A_1\) имеет координату \(y\),
• \(B_1 = y + 3\),
• \(C_1 = y + 3 + \frac{25}{3} = y + 3 + 8.333 = y + 11.333\).

Теперь, для нахождения отношения \(DE : EF\) применим принцип подобия треугольников. Из-за параллельности линий \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) у нас получается:

\[ \frac{DE}{EF} = \frac{BC}{B_1C_1}. \]

Мы нашли:

\[ BC = 5 \quad \text{и} \quad B_1C_1 = \frac{25}{3}. \]

Поэтому:

\[ \frac{DE}{EF} = \frac{5}{\frac{25}{3}} = \frac{5 \cdot 3}{25} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}. \]

Таким образом, отношение \(DE:EF\) равно \(0.6\) или \(\frac{3}{5}\). Ответ: \(\frac{3}{5}\) или \(0.6\).