(x+5)×(x-7)÷(3x-1)>0
Чтобы решить неравенство \((x+5) \times (x-7) \div (3x-1) > 0\), начнем с анализа выражения.
Запишем неравенство в удобной форме:
\[ \frac{(x+5)(x-7)}{3x-1} > 0 \]
Найдем нули числителя и знаменателя:
Числитель \((x+5)(x-7) = 0\) равен нулю, когда:
- \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\)
- \(x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7\)
Знаменатель \(3x - 1 = 0\) равен нулю, когда:
- \(3x - 1 = 0 \Rightarrow 3x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3}\)
Определим интервалы, на которых будем исследовать знак дроби:
Нули и точка разрыва (знаменатель равен нулю) разделяют ось на следующие интервалы:
- \((- \infty; -5)\)
- \((-5; \frac{1}{3})\)
- \((\frac{1}{3}; 7)\)
- \((7; +\infty)\)
Выберем тестовые точки для каждого интервала и подставим их в выражение, чтобы определить знак:
Для интервала \((- \infty; -5)\): выберем \(x = -6\): \[ \frac{(-6 + 5)(-6 - 7)}{3(-6) - 1} = \frac{(-1)(-13)}{-19} > 0 \] Значит, в этом интервале выражение положительно.
Для интервала \((-5; \frac{1}{3})\): выберем \(x = 0\): \[ \frac{(0 + 5)(0 - 7)}{3(0) - 1} = \frac{(5)(-7)}{-1} > 0 \] Значит, в этом интервале выражение положительно.
Для интервала \((\frac{1}{3}; 7)\): выберем \(x = 1\): \[ \frac{(1 + 5)(1 - 7)}{3(1) - 1} = \frac{(6)(-6)}{2} < 0 \] Значит, в этом интервале выражение отрицательно.
Для интервала \((7; +\infty)\): выберем \(x = 8\): \[ \frac{(8 + 5)(8 - 7)}{3(8) - 1} = \frac{(13)(1)}{23} > 0 \] Значит, в этом интервале выражение положительно.
Соберем информацию о знаках:
- \((- \infty; -5)\): положительно
- \((-5; \frac{1}{3})\): положительно
- \((\frac{1}{3}; 7)\): отрицательно
- \((7; +\infty)\): положительно
Учтем нули:
В точках \(x = -5\) и \(x = 7\) дробь равна нулю. В точке \(x = \frac{1}{3}\) дробь не определена.
Запишем окончательный ответ:
Неравенство выполняется на интервалах: \[ (-\infty; -5) \cup (-5; \frac{1}{3}) \cup (7; +\infty) \]
Таким образом, решением неравенства является: \[ (-\infty; -5) \cup (-5; \frac{1}{3}) \cup (7; +\infty) \]
