В приведённых примерах используются деепричастия, которые могут иметь отрицание "не". Давайте разберем каждый случай:
(НЕ)ОСОЗНАВАЯ своего предназначения, герои пьес А.П. Чехова часто проживают свой век механически.
- Здесь деепричастие "осознавая" используется с частицей "не", указывая на отсутствие осознания.
Невозможно овладеть высшей математикой, (НЕ)ЗНАЯ элементарных математических понятий.
- Деепричастие "зная" также стоит с "не", подчеркивая, что если не знаешь элементарных понятий, не сможешь освоить высшую математику.
Ничем (НЕ)ИНТЕРЕСУЯСЬ, Наталья равнодушно смотрела на чернеющее небо, на бушующий океан.
- В этом предложении "интересуясь" с частицей "не" указывает на её равнодушие.
(НЕ)ДОСТИГНУВ цели, он все бросил.
- Здесь "достигнув" с частицей "не" показывает, что он не смог достигнуть своей цели.
(Не) доумевая, он взглянул на собеседника.
- Деепричастие "доумевая" с отрицанием "не" указывает на то, что он не понял, о чем идет речь.
Герой, (не) навидя рабство, пытается изменить отношения между людьми.
- Это деепричастие с частицей "не" показывает сильное отвращение к рабству.
Ещё (НЕ) ДОБРАВШИСЬ до места службы, Андрей отправил отцу телеграмму.
- "Добравшись" с "не" подчеркивает, что он не успел добраться до службы.
(НЕ)ДООЦЕНИВ знания ученика, учительница поставила низкую оценку.
- В этом примере "дооценив" с частицей "не" говорит о том, что она не учла его знания.
Таким образом, все деепричастия в каждом примере ясно иллюстрируют, как отрицание "не" меняет значение действа, выражаемого деепричастием.
