К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО. Найдите радиус окружности, если АВ = 36 см, АО = 45 см

Чтобы решить задачу, воспользуемся теоремой, которая говорит о том, что если к окружности проведена касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению всей длины секущей и её внешней части. В данном случае можно записать следующее:

1. Обозначим радиус окружности как \( R \).
2. Длина касательной \( AB = 36 \) см.
3. Длина секущей \( AO = 45 \) см. При этом длина внешней части секущей будет равна \( AO - R \).

Согласно теореме: \[ AB^2 = AO \cdot (AO - R) \]

Подставим известные значения: \[ 36^2 = 45 \cdot (45 - R) \]

Посчитаем \( 36^2 \): \[ 1296 = 45 \cdot (45 - R) \]

Раскроем скобки: \[ 1296 = 2025 - 45R \]

Преобразуем уравнение, перенесем все в одну сторону: \[ 45R = 2025 - 1296 \] \[ 45R = 729 \]

Теперь найдем \( R \): \[ R = \frac{729}{45} = 16.2 \text{ см} \]

Таким образом, радиус окружности \( R \) составляет 16.2 см.