(х²-10х+21)(х²-14х+49)≤0
Чтобы решить неравенство (x² - 10x + 21)(x² - 14x + 49) ≤ 0, начнем с нахождения корней каждого из множителей.
Первый множитель: x² - 10x + 21 = 0. Мы можем использовать формулу discriminant (D): D = b² - 4ac = (-10)² - 4 * 1 * 21 = 100 - 84 = 16.
Так как D > 0, у нас два различных корня: x₁ = (10 + √16) / 2 = (10 + 4) / 2 = 7, x₂ = (10 - √16) / 2 = (10 - 4) / 2 = 3.
Таким образом, х² - 10x + 21 можно представить как (x - 3)(x - 7).
Второй множитель: x² - 14x + 49 = 0. Дискриминант также рассчитывается: D = (-14)² - 4 * 1 * 49 = 196 - 196 = 0.
Так как D = 0, у нас один корень: x₃ = 14 / 2 = 7.
Второй множитель можно представить как (x - 7)².
Теперь мы можем переписать неравенство в другом виде: ( (x - 3)(x - 7)(x - 7) ) ≤ 0, или ( (x - 3)(x - 7)² ) ≤ 0.
- Найдем значение неравенства: Корни: x = 3 и x = 7.
Построим числовую линию и проверим знаки выражения:
- Для x < 3: (x - 3) < 0, (x - 7)^2 > 0, следовательно, произведение < 0.
- Для 3 < x < 7: (x - 3) > 0, (x - 7)^2 > 0, следовательно, произведение > 0.
- Для x = 7: (x - 3) > 0, (x - 7)^2 = 0, произведение = 0.
- Для x > 7: (x - 3) > 0, (x - 7)^2 > 0, следовательно, произведение > 0.
- Запишем результат: ( (x - 3)(x - 7)² ) ≤ 0, что выполняется при: x ≤ 3 или x = 7.
Итак, окончательный ответ для неравенства (x² - 10x + 21)(x² - 14x + 49) ≤ 0: x ∈ (-∞; 3] ∪ {7}.
