найдите производную произведения функции y=(x³+1)√x
Чтобы найти производную функции \( y = (x^3 + 1) \sqrt{x} \), мы воспользуемся правилом производной произведения. Если у нас есть две функции \( u(x) \) и \( v(x) \), то производная их произведения вычисляется по формуле:
\[ (uv)' = u'v + uv' \]
В нашем случае:
- \( u(x) = x^3 + 1 \)
- \( v(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} \)
Теперь найдем производные этих функций.
- \( u'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 1) = 3x^2 \)
- \( v'(x) = \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
Теперь подставим все в формулу для производной произведения:
\[ y' = u'v + uv' \]
Теперь подставим наши функции и их производные:
\[ y' = (3x^2) \cdot (\sqrt{x}) + (x^3 + 1) \cdot \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right) \]
Упростим каждую часть:
\( (3x^2) \cdot (\sqrt{x}) = 3x^2 \cdot x^{1/2} = 3x^{2 + \frac{1}{2}} = 3x^{\frac{5}{2}} \)
\( (x^3 + 1) \cdot \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right) = \frac{1}{2\sqrt{x}}(x^3 + 1) = \frac{x^3}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{x^{3 - \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \)
Таким образом, теперь можем записать полную производную:
\[ y' = 3x^{\frac{5}{2}} + \frac{x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \]
Объединим первый и второй члены:
\[ y' = \left(3 + \frac{1}{2}\right)x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{6}{2}x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{7}{2}x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \]
Таким образом, производная функции \( y \) будет:
\[ y' = \frac{7}{2}x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \]
