10-41. Преобразовать функцию / (e)de распределения молекул по кинетическим энергиям в функцию / (9)d0 распределения молекул по относительным кинетическим энергиям (где 0 = е/ев,…

Чтобы преобразовать функцию распределения молекул по кинетическим энергиям \( f(E) \) в функцию распределения по относительным кинетическим энергиям \( f(\zeta) \) (где \( \zeta = \frac{E}{E_v} \), а \( E_v \) — наиболее вероятное значение кинетической энергии молекул), нам необходимо использовать метод замены переменных.

Сначала вспомним, что для обычной функции распределения по энергии мы можем выразить \( f(E) \) таким образом:

\[ f(E) = \frac{N}{Z} e^{-\beta E} \]

где \( N \) — общее число молекул, \( Z \) — нормализующая константа, а \( \beta = \frac{1}{kT} \) (где \( k \) — постоянная Больцмана, а \( T \) — температура).

Теперь, чтобы найти \( f(\zeta) \), нам нужно выразить \( E \) через \( \zeta \):

\[ E = \zeta E_v \]

Подставим это в функцию \( f(E) \):

\[ f(\zeta) = f(E) \left| \frac{dE}{d\zeta} \right| \]

Сначала вычисляем производную:

\[ \frac{dE}{d\zeta} = E_v \]

Поэтому

\[ f(\zeta) = f(\zeta E_v) E_v \]

Теперь подставляем выражение для \( f(E) \):

\[ f(\zeta) = \frac{N}{Z} e^{-\beta \zeta E_v} E_v \]

Отметим, что в этой форме функция уже нормализована, и с учётом того, что мы рассматриваем относительные кинетические энергии, нам нужно будет учесть нормировочный коэффициент так, чтобы интеграл от \( f(\zeta) \) по всем возможным значениям \( \zeta \) равнялся 1.

Таким образом, функция распределения молекул по относительным кинетическим энергиям будет иметь вид, который зависит от конкретной формы функции \( f(E) \), но общая структура будет такой:

\[ f(\zeta) = C \cdot e^{-\beta \zeta} \]

где \( C \) — нормировочный коэффициент, который можно найти, обеспечив, чтобы интеграл \( \int_0^{\infty} f(\zeta) d\zeta = 1 \).

Если у вас возникнут дополнительные вопросы на эту тему или другие связанные с физикой, всегда рад помочь!