Два космонавта, Питер и Вальтер, прибыли на орбиту Марса. Одному из них предстоит пробная высадка. Чтобы решить, кто первым ступит на поверхность планеты, они придумали игру:…
Два космонавта, Питер и Вальтер, прибыли на орбиту Марса. Одному из них предстоит пробная высадка. Чтобы решить, кто первым ступит на поверхность планеты, они придумали игру: сложили банки из-под консервов в две кучки. За один ход игрок может добавить в любую из кучек одну банку или увеличить количество банок в любой кучке в два раза. Например, в одной кучке 12 банок, а во второй 7; обозначим это как (12, 7). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (13, 7), (24, 7), (12, 8) или (12, 14). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество банок. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество банок в обеих кучках становится не менее 50. Победителем считается игрок, сделавший последний ход (то есть первым получивший такую позицию, при которой в кучках будет 50 банок или более). На момент начала игры в первой кучке было 7 банок, а во второй - S банок (8 < S < 42). Будем считать, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может победить при любых ходах соперника. Известно, что Вальтер победил в игре своим первым ходом после неудачного первого хода Питера. При каком минимальном значении S такая ситуация возможна? Запиши в поле ответа верное число.
Для решения этой задачи рассмотрим возможные состояния игры и стратегии игроков. Начальное состояние игры задано как (7, S), где 8 < S < 42.
Поскольку цель игры - достичь 50 или более банок, можно определить несколько ключевых моментов. Каждому игроку необходимо выбирать такие ходы, которые либо добавляют банки, либо удваивают количество банок в одной из кучек.
Сначала рассмотрим возможные финальные состояния. Если один из игроков делает ход, который приводит к состоянию, когда общее количество банок становится больше или равно 50, он выигрывает.
Для определения минимального значения S, при котором Вальтер может выиграть своим первым ходом после неудачного хода Питера, нужно учесть, что успешный ход игрока должен обеспечивать выигрыш в следующем ходе.
Начнём с анализа, если Питер совершил неудачный ход. Например, если Питер добавит 1 банку в первую кучку, состояние станет (8, S). Дальше, если Вальтер удачно удваивает, добавляет или делает любой другой ход, он должен суметь добиться состояния, когда общее количество банок достигнет 50.
Исследуя диапазон S от 9 до 41, мы можем выделить ситуации, когда Питер не сможет сделать выигрышный ход, и Вальтер сможет.
При внимательном изучении этого, минимальное значение S, при котором Вальтер победил после неудачного хода Питера, оказывается равным 15. В таком случае, после хода Питера, если он не смог ни удвоить, ни достаточно увеличить количество банок, Вальтер сможет сделать ход, который приведёт к победе.
Таким образом, минимальное значение S, при котором такая ситуация возможна, равно 15.
