1)одно из чисел на 7 больше другого , а их произведение равно -12. Найдите эти числа 2) площадь прямоугольного треугольника равна 24 см² ,а его гипотенуза равна 10 см.Найдите катеты прямоугольника.
- Давайте обозначим два числа как \( x \) и \( y \). По условию задачи одно число на 7 больше другого, что можно записать как:
\[ y = x + 7 \]
Также известно, что их произведение равно -12, что можно записать как:
\[ x \cdot y = -12 \]
Теперь подставим выражение для \( y \) в второе уравнение:
\[ x(x + 7) = -12 \]
Раскроем скобки:
\[ x^2 + 7x + 12 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \]
Корни уравнения находят по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 1}{2 \cdot 1} \]
Теперь вычислим корни:
1.
\[ x_1 = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]
2.
\[ x_2 = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]
Теперь найдем соответствующие значения \( y \):
Если \( x = -3 \), тогда:
\[ y = -3 + 7 = 4 \]
Если \( x = -4 \), тогда:
\[ y = -4 + 7 = 3 \]
Таким образом, найденные числа: \( (-3, 4) \) или \( (-4, 3) \).
- Площадь прямоугольного треугольника \( S = 24 \, \text{см}^2 \), а гипотенуза \( c = 10 \, \text{см} \). Обозначим катеты как \( a \) и \( b \). Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через катеты следующим образом:
\[ S = \frac{1}{2} a b = 24 \implies a b = 48 \]
Также, по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника мы знаем:
\[ a^2 + b^2 = c^2 = 10^2 = 100 \]
Теперь у нас есть две уравнения:
- \( ab = 48 \)
- \( a^2 + b^2 = 100 \)
Первое уравнение можно выразить через \( a \) и \( b \):
\( b = \frac{48}{a} \)
Теперь подставим это значение во второе уравнение:
\[ a^2 + \left(\frac{48}{a}\right)^2 = 100 \]
Упрощаем:
\[ a^2 + \frac{2304}{a^2} = 100 \]
Умножим всё на \( a^2 \) (при условии что \( a \neq 0 \)):
\[ a^4 - 100a^2 + 2304 = 0 \]
Теперь сделаем замену \( z = a^2 \). У нас получается квадратное уравнение:
\[ z^2 - 100z + 2304 = 0 \]
Найдем дискриминант:
\[ D = 100^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2304 = 10000 - 9216 = 784 \]
Находим корни уравнения:
\[ z = \frac{100 \pm \sqrt{784}}{2} \]
Выносим:
\[ \sqrt{784} = 28 \]
Теперь вычислим корни:
1.
\[ z_1 = \frac{100 + 28}{2} = \frac{128}{2} = 64 \]
2.
\[ z_2 = \frac{100 - 28}{2} = \frac{72}{2} = 36 \]
Теперь вернемся к \( a \) и \( b \):
- Если \( z_1 = 64 \) (значит \( a^2 = 64 \)), тогда \( a = 8 \) и \( b = \frac{48}{8} = 6 \).
- Если \( z_2 = 36 \) (значит \( a^2 = 36 \)), тогда \( a = 6 \) и \( b = \frac{48}{6} = 8 \).
Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны \( 6 \, \text{см} \) и \( 8 \, \text{см} \).
