Периметр равнобедренного треугольника равен 16, а боковая сторона — 5. Найдите площадь треугольника.

Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника с известным периметром и боковой стороной, сначала необходимо определить длину основания.

1. Определим длину основания: Периметр равнобедренного треугольника равен 16. Обозначим боковые стороны как \( a \) и основание как \( b \). Учитывая, что боковые стороны равны: \[ 2a + b = 16 \] Так как боковая сторона равна 5, подставим значение \( a \): \[ 2 \cdot 5 + b = 16 \] \[ 10 + b = 16 \] \[ b = 16 - 10 = 6 \] Длина основания равна 6.

2. Найдем площадь: Для нахождения площади треугольника можно использовать формулу Герона или формулу для площади равнобедренного треугольника: \[ S = \frac{b \cdot h}{2} \] где \( h \) — высота треугольника, проведенная из вершины к основанию.

   Чтобы найти высоту \( h \), мы можем использовать прямоугольный треугольник, образованный высотой, основанием и боковой стороной. Высота делит основание пополам, поэтому: \[ \frac{b}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] Теперь можем найти высоту, используя теорему Пифагора: \[ h^2 + 3^2 = 5^2 \] \[ h^2 + 9 = 25 \] \[ h^2 = 25 - 9 = 16 \] \[ h = \sqrt{16} = 4 \]

3. Теперь находим площадь: \[ S = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{6 \cdot 4}{2} = \frac{24}{2} = 12 \]

Таким образом, площадь равнобедренного треугольника равна 12 квадратных единиц.