Дано: а(-3;5), в(7;-3) - концы диаметра окружности. Составьте уравнение этой окружности и прямой проходящей через её центр и параллельно оси абсцисс
Чтобы найти уравнение окружности с данными концами диаметра, нам сначала нужно определить центр окружности и радиус.
- Найдем координаты центра окружности. Центр окружности определяется как середина отрезка, соединяющего две точки. Формула для нахождения середины отрезка, заданного точками \( A(x_1, y_1) \) и \( B(x_2, y_2) \), следующая:
\[ C\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \]
Подставим данные координаты точек \( A(-3;5) \) и \( B(7;-3) \):
\[ C\left( \frac{-3 + 7}{2}, \frac{5 - 3}{2} \right) = C\left( \frac{4}{2}, \frac{2}{2} \right) = C(2; 1) \]
Таким образом, центр окружности находится в точке \( C(2; 1) \).
- Найдем радиус окружности. Радиус можно найти как половину расстояния между концами диаметра. Сначала вычислим расстояние \( AB \) по формуле:
\[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Подставляем значения:
\[ AB = \sqrt{(7 - (-3))^2 + (-3 - 5)^2} = \sqrt{(7 + 3)^2 + (-8)^2} = \sqrt{10^2 + (-8)^2} = \sqrt{100 + 64} = \sqrt{164} = 2\sqrt{41} \]
Теперь радиус \( r \) будет равен половине расстояния:
\[ r = \frac{AB}{2} = \frac{2\sqrt{41}}{2} = \sqrt{41} \]
- Составим уравнение окружности. Уравнение окружности с центром в точке \( (h, k) \) и радиусом \( r \) имеет вид:
\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]
Подставляем найденные значения:
\[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{41})^2 \]
Упрощаем:
\[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 41 \]
Таким образом, уравнение окружности:
\[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 41 \]
- Напишем уравнение прямой, проходящей через центр окружности и параллельной оси абсцесс. Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет постоянное значение \( y \), равное координате центра окружности. Поскольку центр в точке \( (2; 1) \), уравнение прямой будет:
\[ y = 1 \]
Таким образом, итоговые ответы:
- Уравнение окружности: \( (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 41 \)
- Уравнение прямой: \( y = 1 \)
