Дан параллелограмм, вершины которого лежат на одной окружности. Найди его меньшую сторону, если соотношение сторон этого параллелограмма 40 : 42, а радиус окружности - 29 см.

Параллелограмм, вершины которого лежат на одной окружности, называется вписанным параллелограммом. В таком параллелограмме стороны противоположны и равны, а также его диагонали пересекаются под прямым углом.

Пусть стороны параллелограмма равны \( a \) и \( b \), тогда мы знаем, что их соотношение равно \( 40:42 \). Это можно записать в виде:

\[ \frac{a}{b} = \frac{40}{42} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{20}{21} \]

Введем переменные для сторон параллелограмма: \[ a = 20k, \quad b = 21k \]

Где \( k \) – некоторый положительный коэффициент.

Согласно теореме Пифагора для нахождения длины диагонали вписанного параллелограмма, имеем:

\[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Подставим значения \( a \) и \( b \):

\[ d = \sqrt{(20k)^2 + (21k)^2} = \sqrt{400k^2 + 441k^2} = \sqrt{841k^2} = 29k \]

Так как параллелограмм вписан в окружность радиусом \( R = 29 \) см, то длина диагонали равна \( 2R = 58 \) см. Уравняем:

\[ 29k = 58 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{58}{29} = 2 \]

Теперь подставим значение \( k \) в формулы для сторон:

\[ a = 20k = 20 \cdot 2 = 40 \, \text{см} \] \[ b = 21k = 21 \cdot 2 = 42 \, \text{см} \]

Таким образом, меньшая сторона параллелограмма: \[ \boxed{40 \text{ см}} \]