В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 10 10 и 8 8 . Боковые рёбра призмы равны 3 π π 3 . Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.
Чтобы найти объём цилиндра, описанного около прямой призмы, сначала необходимо определить некоторые ключевые параметры призмы и её основания.
Определение основания призмы: В основании призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 10 и 8. Для нахождения площади этого треугольника воспользуемся формулой для площади прямоугольного треугольника:
\[ S = \frac{1}{2} \times a \times b, \]
где \( a \) и \( b \) — катеты. Подставим значения:
\[ S = \frac{1}{2} \times 10 \times 8 = \frac{80}{2} = 40. \]
Площадь основания призмы равна 40 квадратных единиц.
Длина боковых рёбер: Боковые рёбра призмы равны \( 3\pi \). Это будет высота цилиндра, описанного около призмы.
Радиус основанного цилиндра: Чтобы найти радиус описанного цилиндра, нужно определить радиус окружности, описанной вокруг основания треугольника. В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности \( R \) вычисляется по формуле:
\[ R = \frac{c}{2}, \]
где \( c \) — гипотенуза. Сначала найдем гипотенузу, используя теорему Пифагора:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{10^2 + 8^2} = \sqrt{100 + 64} = \sqrt{164} = 2\sqrt{41}. \]
Теперь найдем радиус:
\[ R = \frac{2\sqrt{41}}{2} = \sqrt{41}. \]
Объём описанного цилиндра: Объём цилиндра \( V \) можно найти по формуле:
\[ V = \pi R^2 h, \]
где \( R \) — радиус основания, а \( h \) — высота цилиндра. Подставим известные значения:
\[ V = \pi (\sqrt{41})^2 (3\pi) = \pi \cdot 41 \cdot 3\pi = 123\pi^2. \]
Таким образом, объём цилиндра, описанного около данной прямой призмы, равен \( 123\pi^2 \) кубических единиц.
