Молодой репетитор Дмитрий-бедный студент, поэтому готов проводить уроки за любую цену,. однако количество усилий, которые будст прилагать к уроку разное для каждой цены и задается…

Для решения этой задачи давайте рассмотрим функцию усилий Дмитрия, которая задана как:

\[ E(P) = \frac{101}{P} + 100P \]

Где \( E \) – это уровень усилий, а \( P \) – цена за урок в тысячах рублей.

Платон хочет максимизировать величину, равную количеству усилий Дмитрия за каждую денежную единицу. Это значит, что нужно максимизировать отношение:

\[ \frac{E(P)}{P} \]

Подставим нашу функцию:

\[ \frac{E(P)}{P} = \frac{\frac{101}{P} + 100P}{P} = \frac{101}{P^2} + 100 \]

Теперь, чтобы найти максимальное значение этой функции, нужно взять производную и приравнять её к нулю:

1. Находим производную:

\[ \frac{d}{dP}\left(\frac{101}{P^2} + 100\right) = -\frac{202}{P^3} \]

2. Устанавливаем производную равной нулю:

\[ -\frac{202}{P^3} = 0 \]

Здесь у нас не получится найти \( P \) из данного уравнения, так как дробь никогда не будет равна нулю. Это значит, что необходимо вспомнить, что максимизация будет происходить на границах области определения функции.

3. Учитывая, что \( P \) должно быть положительным, давайте рассмотрим поведение функции. Когда \( P \) стремится к нулю, \( E(P) \) стремится к бесконечности, но на практике цена не может быть нулевой. Так что разумным будет выбрать минимальное значение, например, \( P = 4 \) (по условию задачи).

4. Для \( P = 4 \):

\[ E(4) = \frac{101}{4} + 100 \cdot 4 = 25.25 + 400 = 425.25 \]

5. Теперь можем найти отношение: \[ \frac{E(4)}{4} = \frac{425.25}{4} = 106.3125 \]

Таким образом, платон может установить цену \( P = 4 \) тысячи рублей за урок, чтобы оптимизировать усилия Дмитрия.