В ряд выписаны сорок пять чисел . Сумма любых четырех из них больше 40.Обязательно ли сумма всех сорока пяти чисел будет больше 450?

Чтобы решить эту задачу, давайте проанализируем условия.

Имеем 45 чисел, и известно, что сумма любых четырех из них больше 40. Это значит:

Для любого набора из четырех чисел \(a_i, a_j, a_k, a_l\) выполняется неравенство: \[ a_i + a_j + a_k + a_l > 40 \]

Теперь, если мы сложим эти неравенства для различных комбинаций чисел, позволит нам понять, что сумма всех чисел в определенной степени ограничена.

Рассмотрим минимальные ограничения для суммы всех 45 чисел. Выберем 44 числа из этих 45. Тогда сумма оставшегося числа и суммы 44-х также должна быть больше 40. Это неравенство можно записать так:

\[ S - a_m > 40, \] где \(S\) - сумма всех 45 чисел, а \(a_m\) - одно из 45 чисел.

Так как это верно для любой комбинации, мы можем оценить, что если мы возьмем все числа и произведем аналогичную оценку, то в итоге мы соберем неравенство. Мы можем взять 11 групп по 4 числа. Всего получится: \[ 11 \times 40 = 440. \]

Таким образом, за счет этого расчета получится, что общая сумма будет больше 440. Однако 440 не равняется 450. Поэтому, хотя сумма всех чисел больше 440, мы не можем однозначно утверждать, что она будет больше 450.

Таким образом, сумма всех сорока пяти чисел не обязана быть больше 450. Ответ на вопрос - нет, сумма не обязательно будет больше 450.