Задание 1 функция y=x²+2x-48 определена на отрезке [-5;7].Определи область значений этой функции запиши в поле ответов полученные значения без пробелов, например (3;9]. задание 2 функция y=x²-10x-11 определена на отрезке [-3;12]. Определи наибольшее значение этой функции. Ymax= задание 3 при каком значении c графики функций y=4x²-7x+2+c и y=3x²-13x+5 имеют только одну общую точку? определите координаты этой точки. задание 4 определите свойства параболы y=-5x²+30x+13 варианты ответов: 1) ветви направлены вверх 2) ветви направлены вниз 3) возрастает на промежутке (- бесконечность; 3) 4) возрастает на промежутке (3;+бесконечность) 5) убывает на промежутке (-бесконечность;3) 6) убывает на промежутке (3;+бесконечность) 7) пересекает Оy выше Ox 8) пересекает Oy ниже Ox
Задание 1: Чтобы определить область значений функции \( y = x^2 + 2x - 48 \) на отрезке \([-5; 7]\), начнем с нахождения значений функции в краевых точках этого отрезка, а также в точке, где производная равна нулю (возможно, это будет минимум функции).
Вычислим значения функции в краевых точках:
- \( y(-5) = (-5)^2 + 2(-5) - 48 = 25 - 10 - 48 = -33 \)
- \( y(7) = (7)^2 + 2(7) - 48 = 49 + 14 - 48 = 15 \)
Найдем производную функции: \[ y' = 2x + 2 \] Установим равенство производной нулю: \[ 2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1 \] Проверим, попадает ли точка \( x = -1 \) в наш отрезок \([-5; 7]\). Да, попадает. Теперь находим значение функции в этой точке:
- \( y(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 48 = 1 - 2 - 48 = -49 \)
Теперь у нас есть три значения:
- \( y(-5) = -33 \)
- \( y(7) = 15 \)
- \( y(-1) = -49 \)
Следовательно, наименьшее значение \( -49 \) и наибольшее значение \( 15 \). Область значений будет \([-49; 15]\).
Ответ: \([-49;15]\)
Задание 2: Чтобы найти наибольшее значение функции \( y = x^2 - 10x - 11 \) на отрезке \([-3; 12]\), опять используем производную.
Найдем производную: \[ y' = 2x - 10 \] Установим производную равной нулю: \[ 2x - 10 = 0 \Rightarrow x = 5 \]
Проверим, попадает ли точка \( x = 5 \) в наш отрезок \([-3; 12]\). Да, попадает.
Теперь вычислим значение функции в крайних точках и в точке 5:
- \( y(-3) = (-3)^2 - 10(-3) - 11 = 9 + 30 - 11 = 28 \)
- \( y(12) = (12)^2 - 10(12) - 11 = 144 - 120 - 11 = 13 \)
- \( y(5) = (5)^2 - 10(5) - 11 = 25 - 50 - 11 = -36 \)
Наибольшее значение из этих вычислений:
- \( 28 \) (при \( x = -3 \))
Ответ: \( Ymax=28 \)
Задание 3: Для того чтобы графики функций \( y=4x^2-7x+2+c \) и \( y=3x^2-13x+5 \) имели только одну общую точку, необходимо, чтобы дискриминант системы уравнений был равен нулю.
Сначала приравняем функции: \[ 4x^2 - 7x + 2 + c = 3x^2 - 13x + 5 \] Приведем это уравнение к форме: \[ (4x^2 - 3x^2) + (6x) + (c - 3) = 0 \Rightarrow x^2 + 6x + (c - 3) = 0 \]
Теперь найдем дискриминант: \[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 3) = 36 - 4(c - 3) \] Для того чтобы иметь одну общую точку: \[ D = 0 \] \[ 36 - 4(c - 3) = 0 \Rightarrow 4(c - 3) = 36 \Rightarrow c - 3 = 9 \Rightarrow c = 12 \]
Теперь подставим \( c = 12 \) в уравнение для нахождения координат точки: \[ x^2 + 6x + (12 - 3) = x^2 + 6x + 9 = 0 \] Это представленное уравнение можно разложить: \[ (x + 3)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -3 \]
Подставляем \( x = -3 \) в одну из оригинальных функций, например: \[ y = 3(-3)^2 - 13(-3) + 5 = 27 + 39 + 5 = 71 \]
Координаты точки: \( (-3; 71) \).
Ответ: \( c=12; (-3;71) \)
Задание 4: Рассмотрим параболу \( y = -5x^2 + 30x + 13 \).
- Ветви параболы направлены вниз, потому что коэффициент при \( x^2 \) отрицателен (\(-5 < 0\)).
- Чтобы определить интервалы возрастания и убывания, найдем координату вершины: \[ x_{вершины} = -\frac{b}{2a} = -\frac{30}{2(-5)} = 3 \]
Простая проверка:
- Парабола убывает на отрезке \( (-\infty; 3) \) и возрастает на отрезке \( (3; +\infty) \).
- Теперь проверим пересечения с осью y: Парабола пересекает ось y, когда \( x = 0 \): \[ y(0) = 13 \] (выше оси Ox).
Теперь подведем итоги:
- Ветви направлены вниз (вариант 2).
- Убывает на промежутке \( (-\infty; 3) \) (вариант 5).
- Возрастает на промежутке \( (3; +\infty) \) (вариант 4).
- Пересекает Оy выше Ox (вариант 7).
Ответы: 2, 4, 5, 7.
