На полке лежат коробки с карандашами . В каждой коробке одно и то же число карандашей. Если ученики класса разделят поровну между собой карандаши из двух коробок , то 1 карандаш будет лишним. Если ученики класса разделят поровну между собой карандаши из трёх таких коробок , то 13 карандашей будут лишними. Сколько учеников в классе?

Давайте разберемся с задачей шаг за шагом.

Обозначим количество карандашей в одной коробке как \(x\), а количество учеников в классе как \(n\).

1. Из условия задачи мы знаем, что если разделить карандаши из двух коробок, получится один лишний карандаш: \[ \frac{2x}{n} = k + \frac{1}{n} \] где \(k\) — целое число. То есть, \[ 2x \equiv 1 \pmod{n}. \]

2. Если мы разделим карандаши из трех коробок, то у нас остается 13 лишних карандашей: \[ \frac{3x}{n} = m + \frac{13}{n} \] где \(m\) — также целое число. Следует записать: \[ 3x \equiv 13 \pmod{n}. \]

Теперь у нас есть система из двух конгруэнций:

1. \(2x \equiv 1 \pmod{n}\)
2. \(3x \equiv 13 \pmod{n}\)

Мы можем выразить \(x\) через \(n\) из первой конгруэнтности. Умножим обе стороны на обратное к \(2\) по модулю \(n\) (это возможно, если \(n\) нечетное): \[ x \equiv \frac{1}{2} \pmod{n}. \]

Теперь подставим это значение во вторую конгруэнцию: \[ 3\left(\frac{1}{2}\right) \equiv 13 \pmod{n} \Rightarrow \frac{3}{2} \equiv 13 \pmod{n}. \]

Можно переписать это как: \[ 3 \equiv 26 \pmod{2n} \Rightarrow 3 - 26 = -23 \equiv 0 \pmod{n}, \] что означает, что \(n\) должно делить \(23\).

Следовательно, единственный натуральный делитель \(23\) — это \(1\) и \(23\) самостоятельно. Так как количество учеников должно быть больше 1, мы берём: \[ n = 23. \]

Подводя итог, в классе \(23\) ученика.