Компания ОбедЧай продаёт пасту и борщ. Спрос на пасту составляет Q=80-P , а спрос на борщ Q=360-2P.Компания назначает разные цены на эти товары. а) Найдите какую максимальную выручку она может получить б) компания решила продавать товары через специальный автомат. Автомат имеет 200 слотов. Одна порция пасты занимает 2 слота, а порция борща занимает 1 слот. Компания заполняет автомат полностью и назначает такое цены, чтобы все товары были проданы. Найдите какие цены она назначит, чтобы максимизировать выручку

Давайте разберёмся с вашей задачей по шагам.

а) Максимальная выручка

Сначала выразим выручку для каждого товара. Выручка (R) рассчитывается как цена (P) умноженная на количество проданных товаров (Q).

1. Для пасты: \[ Q_{пасты} = 80 - P \] \[ R_{пасты} = P \cdot Q_{пасты} = P(80 - P) = 80P - P^2 \]

2. Для борща: \[ Q_{борща} = 360 - 2P \] \[ R_{борща} = P \cdot Q_{борща} = P(360 - 2P) = 360P - 2P^2 \]

Теперь, чтобы найти максимальную выручку, посчитаем производную от функции выручки по каждой из переменных, равноценным образом для пасты и борща, и приравняем её к нулю.

Для пасты: \[ \frac{dR_{пасты}}{dP} = 80 - 2P = 0 \Rightarrow P = 40 \] Подставим \(P = 40\) в уравнение спроса, чтобы найти \(Q\): \[ Q_{пасты} = 80 - 40 = 40 \] Тогда: \[ R_{пасты} = 40 \cdot 40 = 1600 \]

Для борща: \[ \frac{dR_{борща}}{dP} = 360 - 4P = 0 \Rightarrow P = 90 \] Подставим \(P = 90\) в уравнение спроса: \[ Q_{борща} = 360 - 2 \cdot 90 = 180 \] Тогда: \[ R_{борща} = 90 \cdot 180 = 16200 \]

Теперь, максимальная выручка от обоих товаров: \[ R_{max} = 1600 + 16200 = 17800 \]

б) Цены для автоматов, занимая 200 слотов

У нас есть 200 слотов, и:

• Порция пасты занимает 2 слота.
• Порция борща занимает 1 слот.

Обозначим количество порций пасты как \(x\) и количество порций борща как \(y\). Мы можем записать уравнение ограничения: \[ 2x + y = 200 \]

Теперь, чтобы максимизировать выручку, мы будем использовать цены, которые мы получили. Для этого нужно выразить выручку как функцию от \(x\) и \(y\):

Выручка будет: \[ R = 40x + 90y \]

Теперь выразим \(y\) из уравнения ограничения: \[ y = 200 - 2x \]

Подставим \(y\) в функцию выручки: \[ R = 40x + 90(200 - 2x) = 40x + 18000 - 180x = -140x + 18000 \]

Максимальная выручка достигается, когда \(x\) минимально. Так как \(x\) не может быть отрицательным, оно должно быть равно 0:

• Таким образом, максимальная выручка достигнется, когда компания продаёт только борщ: \(x = 0\), \(y = 200\).

Теперь назначим цены:

• Цена пасты: \(P_{пасты} = 40\)
• Цена борща: \(P_{борща} = 90\)

Таким образом, компания должна установить:

• Цена пасты: 40
• Цена борща: 90

Это максимизирует выручку, заполнив автомат полностью.