найти расстояние от точки А(1;2;3) до плоскости отсекающее на осях координат отрезки 2; 1; 2.
Для нахождения расстояния от точки \( A(1; 2; 3) \) до плоскости, отсечённой на осях координат отрезками 2, 1, 2, необходимо сначала найти уравнение этой плоскости.
Плоскость, отсечённая на осях координат отрезками \( a = 2 \), \( b = 1 \), \( c = 2 \), описывается уравнением:
\[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \]
Подставим значения \( a \), \( b \) и \( c \):
\[ \frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{2} = 1 \]
Умножим всё уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:
\[ x + 2y + z = 2 \]
Теперь у нас есть уравнение плоскости \( x + 2y + z = 2 \).
Чтобы найти расстояние от точки \( A(1; 2; 3) \) до этой плоскости, воспользуемся формулой для расстояния от точки \( (x_0, y_0, z_0) \) до плоскости \( Ax + By + Cz + D = 0 \):
\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]
Здесь:
- \( A = 1 \), \( B = 2 \), \( C = 1 \) и \( D = -2 \) (в уравнении плоскости можно записать \( -2 = 0 \) как \( x + 2y + z + (-2) = 0 \)).
- Точка \( A(1; 2; 3) \) означает, что \( x_0 = 1 \), \( y_0 = 2 \), \( z_0 = 3 \).
Теперь подставим значения в формулу:
Вычислим \( Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D \): \[ 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 3 - 2 = 1 + 4 + 3 - 2 = 6 \]
Теперь находим модуль: \[ |6| = 6 \]
Вычисляем \( \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \): \[ \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \]
Теперь можно подставить всё это в формулу для расстояния: \[ d = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6} \]
Таким образом, расстояние от точки \( A(1; 2; 3) \) до плоскости составляет \( \sqrt{6} \).
