Написать уравнение плоскости, проходящее через точки А (1,2,4), B(4,-2,2), C(2,6,0).
Для того чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через три точки A (1, 2, 4), B (4, -2, 2) и C (2, 6, 0), нужно выполнить следующие шаги:
Найдем векторы AB и AC:
- Вектор AB = B - A = (4 - 1, -2 - 2, 2 - 4) = (3, -4, -2)
- Вектор AC = C - A = (2 - 1, 6 - 2, 0 - 4) = (1, 4, -4)
Найдем нормальный вектор плоскости, вычислив векторное произведение векторов AB и AC:
Векторное произведение \( \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} \):
\[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -4 & -2 \\ 1 & 4 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}((-4)(-4) - (-2)(4)) - \hat{j}((3)(-4) - (-2)(1)) + \hat{k}((3)(4) - (-4)(1)) \]
\[ = \hat{i}(16 + 8) - \hat{j}(-12 + 2) + \hat{k}(12 + 4) = \hat{i}(24) - \hat{j}(-10) + \hat{k}(16) \]
Таким образом, нормальный вектор \( \vec{n} = (24, 10, 16) \).
Запишем уравнение плоскости. Уравнение плоскости имеет вид: \[ Ax + By + Cz + D = 0 \] where \( (A, B, C) \) – компоненты нормального вектора.
В нашем случае: \[ 24x + 10y + 16z + D = 0 \]
Подставим одну из точек, например, точку A (1, 2, 4), чтобы найти D: \[ 24(1) + 10(2) + 16(4) + D = 0 \]
\[ 24 + 20 + 64 + D = 0 \implies 108 + D = 0 \implies D = -108 \]
Таким образом, уравнение плоскости: \[ 24x + 10y + 16z - 108 = 0 \]
Эти варианты могут быть упрощены. Если поделить всё уравнение на 2, получится: \[ 12x + 5y + 8z - 54 = 0 \] Это и будет окончательное уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.
