Написать уравнение плоскости, проходящее через точки А (1,2,4), B(4,-2,2), C(2,6,0).

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три точки \( A(1, 2, 4) \), \( B(4, -2, 2) \) и \( C(2, 6, 0) \), нам нужно сначала определить векторное направление двух ребер плоскости, затем найти нормальный вектор плоскости, и в конце можно записать уравнение плоскости.

1. Находим векторы AB и AC: \[ \vec{AB} = B - A = (4 - 1, -2 - 2, 2 - 4) = (3, -4, -2) \] \[ \vec{AC} = C - A = (2 - 1, 6 - 2, 0 - 4) = (1, 4, -4) \]

2. Находим нормальный вектор плоскости, вычисляя произведение векторов AB и AC: \[ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -4 & -2 \\ 1 & 4 & -4 \end{vmatrix} \]

   Вычисляем определитель: \[ \vec{n} = \hat{i}((-4)(-4) - (-2)(4)) - \hat{j}((3)(-4) - (-2)(1)) + \hat{k}((3)(4) - (-4)(1)) \] \[ = \hat{i}(16 + 8) - \hat{j}(-12 + 2) + \hat{k}(12 + 4) \] \[ = \hat{i}(24) - \hat{j}(-10) + \hat{k}(16) \] \[ = (24, 10, 16) \]

   Таким образом, нормальный вектор плоскости: \(\vec{n} = (24, 10, 16)\).

3. Записываем уравнение плоскости в форме: \[ 24(x - x_0) + 10(y - y_0) + 16(z - z_0) = 0 \] Используем координаты точки \( A(1, 2, 4) \): \[ 24(x - 1) + 10(y - 2) + 16(z - 4) = 0 \] Раскроем скобки: \[ 24x - 24 + 10y - 20 + 16z - 64 = 0 \] Объединим: \[ 24x + 10y + 16z - 108 = 0 \]

Таким образом, уравнение искомой плоскости: \[ 24x + 10y + 16z = 108 \]