2cos²3x+cos3x+cos9x=1

Чтобы решить уравнение \( 2\cos^2(3x) + \cos(3x) + \cos(9x) = 1 \), начнем с некоторой замены переменной. Обозначим \( y = \cos(3x) \). Это значит, что \( \cos(9x) = \cos(3(3x)) = 4\cos^3(3x) - 3\cos(3x) = 4y^3 - 3y \) по формуле тройного угла.

Теперь подставим эту замену в уравнение:

\[ 2y^2 + y + (4y^3 - 3y) = 1 \]

Упростим уравнение:

\[ 4y^3 + 2y^2 - 2y - 1 = 0 \]

Теперь будем решать это кубическое уравнение. Можно использовать метод проб и ошибок или численные методы для нахождения корней.

После нахождения корней \( y \), нам нужно будет вернуть переменную \( y \) в исходную формулу, то есть,

\[ y = \cos(3x) \]

Теперь для каждого найденного значения \( y \) можно выразить \( x \):

\[ 3x = \arccos(y) + 2k\pi \quad \text{или} \quad 3x = -\arccos(y) + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

А затем делим на три, чтобы получить \( x \):

\[ x = \frac{\arccos(y) + 2k\pi}{3} \quad \text{или} \quad x = \frac{-\arccos(y) + 2k\pi}{3} \]

В итоге, вы решите уравнение, подставив найденные значения \( y \) в выражение для \( x \). Это может дать вам несколько решений в зависимости от значения \( k \).