Написать уравнение плоскости, проходящее через точки А (1,2,4), B(4,-2,2), C(2,6,0).

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три точки, необходимо сначала найти векторы, определяющие эту плоскость. Мы можем использовать векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \), где:

\[ \vec{AB} = B - A = (4 - 1, -2 - 2, 2 - 4) = (3, -4, -2) \]

\[ \vec{AC} = C - A = (2 - 1, 6 - 2, 0 - 4) = (1, 4, -4) \]

Теперь найдем векторное произведение \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \), чтобы получить нормальный вектор плоскости.

\[ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -4 & -2 \\ 1 & 4 & -4 \end{vmatrix} \]

Вычисляем определитель:

\[ \vec{n} = \hat{i}((-4) \cdot (-4) - (-2) \cdot 4) - \hat{j}(3 \cdot (-4) - (-2) \cdot 1) + \hat{k}(3 \cdot 4 - (-4) \cdot 1) \]

\[ = \hat{i}(16 + 8) - \hat{j}(-12 + 2) + \hat{k}(12 + 4) \]

\[ = \hat{i}(24) - \hat{j}(-10) + \hat{k}(16) \]

\[ = (24, 10, 16) \]

Теперь, зная нормальный вектор \( \vec{n} = (24, 10, 16) \), уравнение плоскости в точке \( A(1, 2, 4) \) имеет вид:

\[ 24(x - 1) + 10(y - 2) + 16(z - 4) = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ 24x - 24 + 10y - 20 + 16z - 64 = 0 \]

Соберем все в одну сторону:

\[ 24x + 10y + 16z - 108 = 0 \]

Таким образом, уравнение плоскости:

\[ 24x + 10y + 16z = 108 \]

Можно сократить все коэффициенты, если это необходимо:

\[ 12x + 5y + 8z = 54 \]

Это финальное уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C.