Cos(x/3+π/6)=1/2

Чтобы решить уравнение \( \cos\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \), мы сначала вспомним, при каких значениях аргумента косинус равен \( \frac{1}{2} \). Это происходит, когда аргумент равен:

\[ \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \]

где \( k \) — целое число.

Теперь мы можем записать два уравнения:

1. \( \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \)
2. \( \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \)

Решаем первое уравнение:

\[ \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi. \]

Вычтем \( \frac{\pi}{6} \) с обеих сторон:

\[ \frac{x}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi. \]

Сделаем общий знаменатель:

\[ \frac{x}{3} = \frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi. \]

Это упрощается до:

\[ \frac{x}{3} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi. \]

Умножим обе стороны на 3:

\[ x = \frac{\pi}{2} + 6k\pi. \]

Теперь решим второе уравнение:

\[ \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi. \]

Вычтем \( \frac{\pi}{6} \):

\[ \frac{x}{3} = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi. \]

Сделаем общий знаменатель:

\[ \frac{x}{3} = -\frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi. \]

Это упрощается до:

\[ \frac{x}{3} = -\frac{3\pi}{6} + 2k\pi = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi. \]

Умножим обе стороны на 3:

\[ x = -\frac{3\pi}{2} + 6k\pi. \]

Итак, окончательное решение для уравнения \( \cos\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \) можно записать как:

\[ x = \frac{\pi}{2} + 6k\pi \quad \text{или} \quad x = -\frac{3\pi}{2} + 6k\pi, \]

где \( k \) — целое число.