Длина диагонали прямоугольника равна 5, а его площадь 12. Найдите стороны прямоугольника.
Чтобы найти стороны прямоугольника, когда известны длина диагонали и площадь, можно воспользоваться теорией, связанной с прямоугольниками.
Обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \).
По формуле диагонали: Длина диагонали \( d \) связана со сторонами прямоугольника следующим образом: \[ d^2 = a^2 + b^2 \] В данном случае, \( d = 5 \), поэтому: \[ 5^2 = a^2 + b^2 \implies 25 = a^2 + b^2 \quad (1) \]
По формуле площади: Площадь \( S \) прямоугольника равна: \[ S = a \cdot b \] В нашем случае, \( S = 12 \), то есть: \[ a \cdot b = 12 \quad (2) \]
Теперь у нас есть система уравнений (1) и (2):
Из уравнения (2) выразим \( b \): \[ b = \frac{12}{a} \]
Подставим это значение в уравнение (1): \[ 25 = a^2 + \left( \frac{12}{a} \right)^2 \]
Теперь упростим это уравнение: \[ 25 = a^2 + \frac{144}{a^2} \] Умножим обе стороны на \( a^2 \): \[ 25a^2 = a^4 + 144 \] Перепишем уравнение, чтобы оно было равно нулю: \[ a^4 - 25a^2 + 144 = 0 \]
Обозначим \( x = a^2 \), тогда у нас получается квадратное уравнение: \[ x^2 - 25x + 144 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение используя дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49 \]
Находим корни: \[ x = \frac{25 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{25 \pm 7}{2} \] Это дает два значения: \[ x_1 = \frac{32}{2} = 16 \quad и \quad x_2 = \frac{18}{2} = 9 \]
Таким образом, получаем: \[ a^2 = 16 \Rightarrow a = 4 \quad или \quad a^2 = 9 \Rightarrow a = 3 \]
Теперь подставим значения \( a \) обратно в уравнение (2), чтобы найти \( b \):
- Если \( a = 4 \): \[ b = \frac{12}{4} = 3 \]
- Если \( a = 3 \): \[ b = \frac{12}{3} = 4 \]
Таким образом, стороны прямоугольника равны \( 3 \) и \( 4 \) (в любом порядке).
Итак, ответ: стороны прямоугольника равны \( 3 \) и \( 4 \).
