Найдите площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной 10 см.
Чтобы найти площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной 10 см, следуем следующим шагам.
Определение радиуса круга, вписанного в шестиугольник: Радиус вписанного круга (r) равен расстоянию от центра шестиугольника до середины одной из его сторон. Для правильного шестиугольника радиус круга можно найти по формуле:
\[ r = \frac{h}{3} \]
где h — высота равностороннего треугольника, образованного сторонами шестиугольника.
Вычисление высоты треугольника: Высота равностороннего треугольника, состоящего из двух половинок, может быть найдена по формуле:
\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a \]
где a — длина стороны треугольника. В нашем случае a = 10 см:
\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10 = 5\sqrt{3} \text{ см} \]
Вычисление радиуса круга: Теперь подставим высоту в формулу радиуса:
\[ r = \frac{5\sqrt{3}}{3} \text{ см} \]
Нахождение площади круга: Площадь круга можно вычислить по формуле:
\[ S = \pi r^2 \]
Подставим значение r:
\[ S = \pi \left( \frac{5\sqrt{3}}{3} \right)^2 = \pi \cdot \frac{25 \cdot 3}{9} = \frac{75\pi}{9} = \frac{25\pi}{3} \text{ см}^2 \]
Таким образом, площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной 10 см, равна \(\frac{25\pi}{3} \text{ см}^2\).
