Ученик пишет три проверочные работы. Вероятность того, что он напишет проверочную работу хорошо, равна 0,4. Найдите вероятность того, что две проверочные работы он напишет хорошо, а одну плохо

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой биномиального распределения, так как у нас есть фиксированное количество испытаний (проверочных работ), есть два возможных исхода (написать хорошо или плохо), и вероятность успеха остается постоянной.

Дано:

• Вероятность успешного исхода (написать хорошо) \( p = 0.4 \).
• Вероятность неуспешного исхода (написать плохо) \( q = 1 - p = 0.6 \).
• Общее количество работ \( n = 3 \).
• Количество успешных исходов \( k = 2 \).

Формула для нахождения вероятности того, что в \( n \) испытаниях произойдет ровно \( k \) успехов, выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где \( C(n, k) \) — это биномиальный коэффициент, который показывает, сколько способов можно выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний. Он вычисляется по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Теперь подставим известные значения в формулу.

1. Вычислим биномиальный коэффициент \( C(3, 2) \):

\[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(1)} = 3 \]

2. Найдем вероятность \( P(X = 2) \):

\[ P(X = 2) = C(3, 2) \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^{3-2} \]

Подставим значения:

\[ P(X = 2) = 3 \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^1 \]

Рассчитаем:

\[ P(X = 2) = 3 \cdot 0.16 \cdot 0.6 = 3 \cdot 0.096 = 0.288 \]

Таким образом, вероятность того, что ученик напишет две проверочные работы хорошо, а одну плохо, составляет \( 0.288 \) или \( 28.8\% \).