Найдите площадь прямоугольного треугольника если радиус вписанной в него окружности r-3см а радиус описанной R=15

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, используя радиусы вписанной и описанной окружностей, можно воспользоваться следующими формулами. Площадь прямоугольного треугольника может быть найдена через радиус вписанной окружности (r) и полупериметр (p) треугольника. Для прямоугольного треугольника формула выглядит так: \[ S = r \cdot p \] где \( r \) — радиус вписанной окружности, а \( p \) — полупериметр треугольника. Также, существует связь между радиусом описанной окружности (R) и катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника. Для прямоугольного треугольника формула для радиуса описанной окружности такова: \[ R = \frac{c}{2} \] где \( c \) — длина гипотенузы. Для прямоугольного треугольника со сторонами \( a \), \( b \) и гипотенузой \( c \), полупериметр \( p \) можно выразить как: \[ p = \frac{a + b + c}{2} \] Теперь, зная радиус вписанной окружности \( r = 3 \) см, а радиус описанной окружности \( R = 15 \) см, можно выразить гипотенузу \( c \): \[ c = 2R = 2 \cdot 15 = 30 \text{ см} \] Теперь мы знаем, что: 1. \( r = 3 \) см 2. \( c = 30 \) см В прямоугольном треугольнике также верно, что: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] Подставляем значения: \[ 3 = \frac{a + b - 30}{2} \] Умножив обе стороны на 2, получаем: \[ 6 = a + b - 30 \] Следовательно: \[ a + b = 36 \] Теперь мы знаем, что сумма катетов равна 36 см, и можем выразить площадь этого треугольника через радиус вписанной окружности и полупериметр: Чтобы найти полупериметр \( p \): \[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{36 + 30}{2} = \frac{66}{2} = 33 \text{ см} \] Теперь мы можем определить площадь \( S \): \[ S = r \cdot p = 3 \cdot 33 = 99 \text{ см}^2 \] Таким образом, площадь прямоугольного треугольника составляет 99 квадратных сантиметров.