1) Вектор АВ=а задан координатами своих концов: А(2; 4; - 3) и В(6; - 3; 1). Вычислите его длину и косинусы углов, которые образует вектор с базисными векторами. 2) Даны векторы…

Конечно! Давайте разберем ваши вопросы по математике и вычислим всё шаг за шагом.

1. Вектор АВ: Вектор \( \vec{AB} \) можно найти через координаты его концов. Формула для нахождения координат вектора \( \vec{AB} \) между точками \( A(x_1, y_1, z_1) \) и \( B(x_2, y_2, z_2) \) выглядит так:

   \[ \vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \]

   Подставим координаты точек \( A(2; 4; -3) \) и \( B(6; -3; 1) \):

   \[ \vec{AB} = (6 - 2, -3 - 4, 1 - (-3)) = (4, -7, 4) \]

   Чтобы найти длину (модуль) вектора \( \vec{AB} \), используем формулу:

   \[ |\vec{AB}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{4^2 + (-7)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 49 + 16} = \sqrt{81} = 9 \]

   Теперь найдем косинусы углов, которые образует вектор с базисными векторами \( \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \). Косинус угла между вектором и базисным вектором вычисляется по формуле:

   \[ \cos(\alpha) = \frac{v_x}{|v|}, \quad \cos(\beta) = \frac{v_y}{|v|}, \quad \cos(\gamma) = \frac{v_z}{|v|} \]

   Подставим значения:

   \[ \cos(\alpha) = \frac{4}{9}, \quad \cos(\beta) = \frac{-7}{9}, \quad \cos(\gamma) = \frac{4}{9} \]

2. Косинус угла между векторами a и b: Для нахождения косинуса угла между двумя векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), используем формулу:

   \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \]

   Сначала найдем скалярное произведение:

   \( \vec{a} = (2, -4, 5) \) и \( \vec{b} = (4, -3, 5) \):

   \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 4 + (-4) \cdot (-3) + 5 \cdot 5 = 8 + 12 + 25 = 45 \]

   Теперь найдем длины векторов \( |\vec{a}| \) и \( |\vec{b}| \):

   \[ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 16 + 25} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \]

   \[ |\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

   Теперь подставим в формулу для косинуса:

   \[ \cos(\theta) = \frac{45}{3\sqrt{5} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{45}{15\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} \]

3. Векторное произведение векторов a и b: Векторное произведение \( \vec{a} \times \vec{b} \) можно найти, используя определитель:

   \[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} \]

   Развернем определитель:

   \[ \vec{a} \times \vec{b} = \vec{i} \begin{vmatrix} -4 & 5 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} \]

   Вычисляя определители:

   \[ = \vec{i}((-4) \cdot 2 - 5 \cdot 1) - \vec{j}(2 \cdot 2 - 5 \cdot 3) + \vec{k}(2 \cdot 1 - (-4) \cdot 3) \] \[ = \vec{i}(-8 - 5) - \vec{j}(4 - 15) + \vec{k}(2 + 12) \] \[ = \vec{i}(-13) - \vec{j}(-11) + \vec{k}(14) \] \[ = -13\vec{i} + 11\vec{j} + 14\vec{k} \]

   Итак, векторное произведение \( \vec{a} \times \vec{b} = (-13, 11, 14) \).

Если есть необходимость уточнить или объяснить что-то ещё, не стесняйтесь задавать вопросы!