О многолетним статистическим данным известно что вероятность рождения мальчика равна 0,4. Составь экран распределения случайной величины X число мальчиков в семье С 5 детьми Найди математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины

Давайте рассмотрим вашу задачу. У нас есть случайная величина \(X\), которая представляет количество мальчиков в семье с 5 детьми.

Сначала мы можем определить, что количество мальчиков в семье подчиняется биномиальному распределению, так как каждое рождение мальчика – это независимое событие с фиксированной вероятностью.

Параметры нашего биномиального распределения:

• \(n = 5\) (число детей)
• \(p = 0.4\) (вероятность рождения мальчика)

1. Экран распределения случайной величины \(X\)

Распределение случайной величины \(X\) можно записать с помощью формулы биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где \(C(n, k)\) — биномиальный коэффициент, который можно выразить как:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Теперь вычислим вероятности для всех возможных значений \(k\) от 0 до 5.

• Для \(k = 0\) (0 мальчиков): \[ P(X = 0) = C(5, 0) \cdot (0.4)^0 \cdot (0.6)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.07776 = 0.07776 \]

• Для \(k = 1\) (1 мальчик): \[ P(X = 1) = C(5, 1) \cdot (0.4)^1 \cdot (0.6)^4 = 5 \cdot 0.4 \cdot 0.1296 = 0.2592 \]

• Для \(k = 2\) (2 мальчика): \[ P(X = 2) = C(5, 2) \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^3 = 10 \cdot 0.16 \cdot 0.216 = 0.3456 \]

• Для \(k = 3\) (3 мальчика): \[ P(X = 3) = C(5, 3) \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^2 = 10 \cdot 0.064 \cdot 0.36 = 0.2304 \]

• Для \(k = 4\) (4 мальчика): \[ P(X = 4) = C(5, 4) \cdot (0.4)^4 \cdot (0.6)^1 = 5 \cdot 0.0256 \cdot 0.6 = 0.0768 \]

• Для \(k = 5\) (5 мальчиков): \[ P(X = 5) = C(5, 5) \cdot (0.4)^5 \cdot (0.6)^0 = 1 \cdot 0.01024 \cdot 1 = 0.01024 \]

Теперь у нас есть экран распределения случайной величины \(X\):

\[ \begin{align*} P(X = 0) & = 0.07776 \\ P(X = 1) & = 0.2592 \\ P(X = 2) & = 0.3456 \\ P(X = 3) & = 0.2304 \\ P(X = 4) & = 0.0768 \\ P(X = 5) & = 0.01024 \\ \end{align*} \]

2. Математическое ожидание и дисперсия

Математическое ожидание \(E(X)\) для биномиального распределения вычисляется по формуле:

\[ E(X) = n \cdot p = 5 \cdot 0.4 = 2 \]

Дисперсия \(Var(X)\) вычисляется по формуле:

\[ Var(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 5 \cdot 0.4 \cdot 0.6 = 1.2 \]

Итоговые значения

• Математическое ожидание \(E(X) = 2\)
• Дисперсия \(Var(X) = 1.2\)

Если у вас остались вопросы или вам нужно что-то разъяснить, не стесняйтесь спрашивать!