В ящике стола у Кирилла лежат 13 гелевых ручек и 15 шариковых. Мальчик наугад достаёт из ящика ручки до тех пор, пока не вытянет гелевую. Какова вероятность, что гелевая ручка будет вытянута третьей по счёту? (Ответ округли до сотых. Промежуточные вычисления выполняй в обыкновенных дробях.)
Для того чтобы гелевая ручка была вытянута третьей по счёту, должны выполниться следующие условия:
- Первые две вытянутые ручки должны быть шариковыми.
- Третья вытянутая ручка должна быть гелевой.
Итак, сначала посчитаем общее количество ручек:
- Гелевые ручки: 13
- Шариковые ручки: 15
- Всего ручек: 13 + 15 = 28
Теперь найдем вероятность того, что первые две ручки будут шариковыми и третья — гелевой.
Шаг 1: Вероятность того, что первая ручка шариковая. Количество шариковых ручек на начало: 15, общее количество ручек: 28.
\[ P_1 = \frac{15}{28} \]
Шаг 2: Вероятность того, что вторая ручка также шариковая. После вытягивания первой шариковой ручки у нас остается:
- Шариковых ручек: 14
- Всего ручек: 27
\[ P_2 = \frac{14}{27} \]
Шаг 3: Вероятность того, что третья ручка гелевая. После вытягивания двух шариковых ручек у нас остается:
- Гелевых ручек: 13
- Всего ручек: 26
\[ P_3 = \frac{13}{26} = \frac{1}{2} \]
Шаг 4: Общая вероятность. Умножаем вероятности:
\[ P = P_1 \cdot P_2 \cdot P_3 = \frac{15}{28} \cdot \frac{14}{27} \cdot \frac{1}{2} \]
Теперь выполним вычисления:
\[ P = \frac{15 \cdot 14 \cdot 1}{28 \cdot 27 \cdot 2} = \frac{210}{1512} \]
Сократим дробь:
\[ 210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \] \[ 1512 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 7 \]
Сократив на \( 42 \) (общий множитель):
\[ \frac{210 \div 42}{1512 \div 42} = \frac{5}{36} \]
Теперь найдем приближенное значение:
\[ \frac{5}{36} \approx 0.138888... \]
Округляя до сотых, получаем:
\[ \approx 0.14 \]
Таким образом, вероятность того, что гелевая ручка будет вытянута третьей, составляет 0.14.
