й

Привет! Давай разберемся с задачей. У нас есть тетраэдр с заданными координатами вершин: \( A(2, 3, 0) \), \( B(4, -1, 2) \), \( C(8, 7, 1) \), \( D(-3, 4, -2) \). Нужно найти высоту тетраэдра, опущенную из вершины \( D \) на грань \( ABC \).

1. Найдем вектор нормали к плоскости \( ABC \). Для этого возьмем векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \):

   • \( \overrightarrow{AB} = (4 - 2, -1 - 3, 2 - 0) = (2, -4, 2) \)
   • \( \overrightarrow{AC} = (8 - 2, 7 - 3, 1 - 0) = (6, 4, 1) \)

2. Найдем векторное произведение \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \), чтобы определить нормаль:

   • \( (i, j, k) \)
   • Определитель векторов: \[ \left| \begin{array}{ccc} i & j & k \\ 2 & -4 & 2 \\ 6 & 4 & 1 \\ \end{array} \right| \]
   • Результат: \( (14, 10, 28) \)

3. Уравнение плоскости \( ABC \) имеет вид: \( 14x + 10y + 28z = k \). Подставляя координаты \( A \):

   • \( k = 14 \cdot 2 + 10 \cdot 3 + 28 \cdot 0 = 28 + 30 = 58 \)
   • Уравнение: \( 14x + 10y + 28z = 58 \)

4. Найдем расстояние от точки \( D \) до плоскости \( ABC \):

   • Формула для расстояния: \(\frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)
   • Подставляем координаты \( D(-3, 4, -2) \): \[ \text{Расстояние} = \frac{|14(-3) + 10(4) + 28(-2) - 58|}{\sqrt{14^2 + 10^2 + 28^2}} \]
   • Вычисляем:
     • Числитель: \( |-42 + 40 - 56 - 58| = |-116| = 116 \)
     • Знаменатель: \( \sqrt{196 + 100 + 784} = \sqrt{1080} \approx 32.86 \)

5. Итоговое расстояние (высота): \[ h \approx \frac{116}{32.86} \approx 3.53 \]

Вот так шаг за шагом мы нашли высоту тетраэдра. Если что-то непонятно, спрашивай!