Проверьте компланарность указанных троек векторов,a, b, c; заданных координатами. Если тройка не компланарна, то определите ее ориентацию: правая или левая тройка. a=(1, 3,0), b =(-1, 0,-1), c=(1, 2,1) a=(3, 2,1), b=(5, 5,5), c=(0, -1, -2) a=(0, 6,1), b=(0, 2,0), c=(1, 1,1) a=(1, 5,1), b=(1, 7,1), c=(2, 2,1)

Чтобы проверить компланарность троек векторов и определить их ориентацию, можно использовать скалярное произведение векторов и их определитель. Если определитель равен нулю, то векторы компланарны. Если он не равен нулю, можно определить ориентацию тройки векторов: если определитель положительный, это правая тройка, если отрицательный — левая.

Рассмотрим все указанные тройки векторов.

1. Векторы:

\( a = (1, 3, 0), b = (-1, 0, -1), c = (1, 2, 1) \)

Сначала составим матрицу из векторов \( a, b, c \): \[ \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} \]

Теперь посчитаем определитель: \[ = 1 \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \]

\[ = 1(0 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) - 3((-1) \cdot 1 - (-1) \cdot 1) \] \[ = 1(0 + 2) - 3(0) \] \[ = 2. \] Так как определитель не равен нулю, тройка не компланарна. Поскольку определитель положителен, эта тройка является правой.

2. Векторы:

\( a = (3, 2, 1), b = (5, 5, 5), c = (0, -1, -2) \)

Построим матрицу: \[ \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 5 & 5 & 5 \\ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix} \]

Расчитаем определитель: \[ = 3 \begin{vmatrix} 5 & 5 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 5 & 5 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 5 & 5 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \]

\[ = 3(5 \cdot -2 - 5 \cdot -1) - 2(5 \cdot -2 - 5 \cdot 0) + 1(5 \cdot -1 - 5 \cdot 0) \]

\[ = 3(-10 + 5) - 2(-10) + (-5) \] \[ = 3(-5) + 20 - 5 \] \[ = -15 + 20 - 5 = 0. \] Так как определитель равен нулю, тройка компланарна.

3. Векторы:

\( a = (0, 6, 1), b = (0, 2, 0), c = (1, 1, 1) \)

Составим матрицу: \[ \begin{vmatrix} 0 & 6 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \] Поскольку первый столбец состоит из нулей, можем считать определитель, используя другие строки:

\[ = 0 \cdot S + 6 \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \] \[ = 0 - 1(0 - 2) = 2. \] Определитель не равен нулю, тройка не компланарна, определитель положителен, значит, тройка является правой.

4. Векторы:

\( a = (1, 5, 1), b = (1, 7, 1), c = (2, 2, 1) \)

Составим матрицу: \[ \begin{vmatrix} 1 & 5 & 1 \\ 1 & 7 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} \] Посчитаем определитель: \[ = 1 \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 5 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & 7 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} \]

\[ = 1(7 \cdot 1 - 1 \cdot 2) - 5(1 \cdot 1 - 2 \cdot 1) + 1(1 \cdot 2 - 2 \cdot 7) \] \[ = 1(7 - 2) - 5(1 - 2) + 1(2 - 14) \] \[ = 1(5) + 5 + 1(-12) \] \[ = 5 + 5 - 12 = -2. \] Определитель не равен нулю, тройка не компланарна, и поскольку определитель отрицательный, она является левой.

Итоги:

1. Тройка \( (1, 3, 0), (-1, 0, -1), (1, 2, 1) \) — правая.
2. Тройка \( (3, 2, 1), (5, 5, 5), (0, -1, -2) \) — компланарная.
3. Тройка \( (0, 6, 1), (0, 2, 0), (1, 1, 1) \) — правая.
4. Тройка \( (1, 5, 1), (1, 7, 1), (2, 2, 1) \) — левая.