Проверьте компланарность указанных троек векторов,a, b, c; заданных координатами. Если тройка не компланарна, то определите ее ориентацию: правая или левая тройка. a=(1, 3,0), b =(-1, 0,-1), c=(1, 2,1) a=(3, 2,1), b=(5, 5,5), c=(0, -1, -2) a=(0, 6,1), b=(0, 2,0), c=(1, 1,1) a=(1, 5,1), b=(1, 7,1), c=(2, 2,1)

Для проверки компланарности троек векторов \( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \), заданных координатами, можно воспользоваться скалярным произведением векторного произведения двух векторов на третий вектор. В случае, если это значение равно нулю, векторы компланарны. Если нет, то можно определить их ориентацию (правая или левая тройка) с помощью знака этого значения.

Рассмотрим каждую тройку векторов:

1. Первая тройка: \( \mathbf{a} = (1, 3, 0), \mathbf{b} = (-1, 0, -1), \mathbf{c} = (1, 2, 1) \)

   Сначала находим векторное произведение \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \): \[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) - \mathbf{j}(-1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) + \mathbf{k}(-1 \cdot 2 - 0 \cdot 1) \] \[ = \mathbf{i}(0 + 2) - \mathbf{j}(-1 + 1) + \mathbf{k}(-2 - 0) = 2\mathbf{i} + 0\mathbf{j} - 2\mathbf{k} = (2, 0, -2) \]

   Теперь находим скалярное произведение \( \mathbf{a} \) с результатом: \[ \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (1, 3, 0) \cdot (2, 0, -2) = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 0 + 0 \cdot (-2) = 2 \] Поскольку результат не равен нулю, векторы не компланарны.

   Чтобы определить ориентацию, посмотрим на знак: \( 2 > 0 \) означает, что тройка векторов имеет правую ориентацию.

2. Вторая тройка: \( \mathbf{a} = (3, 2, 1), \mathbf{b} = (5, 5, 5), \mathbf{c} = (0, -1, -2) \)

   Находим векторное произведение: \[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 5 & 5 & 5 \\ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(5 \cdot (-2) - 5 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(5 \cdot (-2) - 5 \cdot 0) + \mathbf{k}(5 \cdot (-1) - 5 \cdot 0) \] \[ = \mathbf{i}(-10 + 5) - \mathbf{j}(-10) + \mathbf{k}(-5) = (-5, 10, -5) \] Далее, находим скалярное произведение: \[ \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (3, 2, 1) \cdot (-5, 10, -5) = 3 \cdot (-5) + 2 \cdot 10 + 1 \cdot (-5) = -15 + 20 - 5 = 0 \] Векторы компланарны.

3. Третья тройка: \( \mathbf{a} = (0, 6, 1), \mathbf{b} = (0, 2, 0), \mathbf{c} = (1, 1, 1) \)

   Вычислим векторное произведение: \[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot 1 - 2 \cdot 0) \] \[ = \mathbf{i}(2) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(0) = (2, 0, 0) \] Находим скалярное произведение: \[ \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (0, 6, 1) \cdot (2, 0, 0) = 0 \cdot 2 + 6 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0 \] Векторы компланарны.

4. Четвертая тройка: \( \mathbf{a} = (1, 5, 1), \mathbf{b} = (1, 7, 1), \mathbf{c} = (2, 2, 1) \)

   Находим векторное произведение: \[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 7 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(7 \cdot 1 - 1 \cdot 2) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot 2 - 7 \cdot 2) \] \[ = \mathbf{i}(7 - 2) - \mathbf{j}(1 - 2) + \mathbf{k}(2 - 14) = (5, 1, -12) \] Вычисляем скалярное произведение: \[ \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (1, 5, 1) \cdot (5, 1, -12) = 1 \cdot 5 + 5 \cdot 1 + 1 \cdot (-12) = 5 + 5 - 12 = -2 \] Поскольку результат не равен нулю, векторы не компланарны.

   Ориентация определится по знаку: \( -2 < 0 \), значит, это левая тройка.

Итоги:

1. Первая тройка: не компланарна, правая.
2. Вторая тройка: компланарна.
3. Третья тройка: компланарна.
4. Четвертая тройка: не компланарна, левая.