Проверьте компланарность указанных троек векторов,a, b, c; заданных координатами. Если тройка не компланарна, то определите ее ориентацию: правая или левая тройка. 1) a=(1, 3,0), b =(-1, 0,-1), c=(1, 2,1) 2) a=(3, 2,1), b=(5, 5,5), c=(0, -1, -2) 3) a=(0, 6,1), b=(0, 2,0), c=(1, 1,1) 4) a=(1, 5,1), b=(1, 7,1), c=(2, 2,1)

Question 1

Задача Задача №2365670

А

Аноним

28 ноября 2024 12:11 · публичный вопрос

А

Аноним 28 ноября 2024 12:11

Проверьте компланарность указанных троек векторов,a, b, c; заданных координатами. Если тройка не компланарна, то определите ее ориентацию: правая или левая тройка. 1) a=(1, 3,0), b =(-1, 0,-1), c=(1, 2,1) 2) a=(3, 2,1), b=(5, 5,5), c=(0, -1, -2) 3) a=(0, 6,1), b=(0, 2,0), c=(1, 1,1) 4) a=(1, 5,1), b=(1, 7,1), c=(2, 2,1)

Answer

Чтобы проверить компланарность векторов \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \), можно использовать определитель матрицы, составленной из координат этих векторов. Если определитель равен нулю, векторы компланарны. Если он не равен нулю, векторы не компланарны, и можно определить ориентацию (правая или левая тройка).

Определитель для векторов \( \mathbf{a} = (x_1, y_1, z_1) \), \( \mathbf{b} = (x_2, y_2, z_2) \), \( \mathbf{c} = (x_3, y_3, z_3) \) вычисляется по формуле:

\[ D = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix} = x_1(y_2z_3 - y_3z_2) - y_1(x_2z_3 - x_3z_2) + z_1(x_2y_3 - x_3y_2) \]

Теперь давайте просчитаем определители для каждой тройки векторов.

1) \( \mathbf{a} = (1, 3, 0) \), \( \mathbf{b} = (-1, 0, -1) \), \( \mathbf{c} = (1, 2, 1) \)

\[ D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1(0 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) - 3(-1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) + 0 = 1(0 + 2) - 3(−1 + 1) = 2 - 0 = 2 \]

Определитель \( D_1 \neq 0 \), следовательно, векторы не компланарны. \( D_1 > 0 \), значит, тройка имеет правую ориентацию.

2) \( \mathbf{a} = (3, 2, 1) \), \( \mathbf{b} = (5, 5, 5) \), \( \mathbf{c} = (0, -1, -2) \)

\[ D_2 = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 5 & 5 & 5 \\ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix} = 3(5 \cdot (-2) - 5 \cdot (-1)) - 2(5 \cdot (-2) - 5 \cdot 0) + 1(5 \cdot (-1) - 5 \cdot 0) = 3(-10 + 5) - 2(-10) + (-5) = 3(-5) + 20 - 5 = -15 + 20 - 5 = 0 \]

Определитель \( D_2 = 0 \), значит, векторы компланарны.

3) \( \mathbf{a} = (0, 6, 1) \), \( \mathbf{b} = (0, 2, 0) \), \( \mathbf{c} = (1, 1, 1) \)

\[ D_3 = \begin{vmatrix} 0 & 6 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 + 6(0 - 1) + 1(0 - 0) = 0 - 6 = -6 \]

Определитель \( D_3 \neq 0 \), следовательно, векторы не компланарны. \( D_3 < 0 \), значит, тройка имеет левую ориентацию.

4) \( \mathbf{a} = (1, 5, 1) \), \( \mathbf{b} = (1, 7, 1) \), \( \mathbf{c} = (2, 2, 1) \)

\[ D_4 = \begin{vmatrix} 1 & 5 & 1 \\ 1 & 7 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1(7 \cdot 1 - 2 \cdot 1) - 5(1 \cdot 1 - 2 \cdot 1) + 1(1 \cdot 2 - 7 \cdot 1) = 1(7 - 2) - 5(1 - 2) + (2 - 7) = 5 + 5 - 5 = 5 \]

Определитель \( D_4 \neq 0 \), следовательно, векторы не компланарны. \( D_4 > 0 \), значит, тройка имеет правую ориентацию.

Результаты:

Не компланарны, правая ориентация.
Компланарны.
Не компланарны, левая ориентация.
Не компланарны, правая ориентация.

Question 2

проверьте компланарность указанных троек векторов,a, b, c; заданных координатами. Если тройка не компланарна, то определите ее ориентацию: правая или левая тройка. 1) a=(1, 3,0), b =(-1, 0,-1), c=(1, 2,1) 2) a=(3, 2,1), b=(5, 5,5), c=(0, -1, -2) 3) a=(0, 6,1), b=(0, 2,0), c=(1, 1,1) 4) a=(1, 5,1), b=(1, 7,1), c=(2, 2,1)

Answer

Чтобы проверить компланарность векторов \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \), можно использовать определитель матрицы, составленной из координат этих векторов. Если определитель равен нулю, векторы компланарны. Если он не равен нулю, векторы не компланарны, и можно определить ориентацию (правая или левая тройка). Определитель для векторов \( \mathbf{a} = (x_1, y_1, z_1) \), \( \mathbf{b} = (x_2, y_2, z_2) \), \( \mathbf{c} = (x_3, y_3, z_3) \) вычисляется по формуле: \[ D = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix} = x_1(y_2z_3 - y_3z_2) - y_1(x_2z_3 - x_3z_2) + z_1(x_2y_3 - x_3y_2) \] Теперь давайте просчитаем определители для каждой тройки векторов. ### 1) \( \mathbf{a} = (1, 3, 0) \), \( \mathbf{b} = (-1, 0, -1) \), \( \mathbf{c} = (1, 2, 1) \) \[ D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1(0 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) - 3(-1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) + 0 = 1(0 + 2) - 3(−1 + 1) = 2 - 0 = 2 \] Определитель \( D_1 \neq 0 \), следовательно, векторы не компланарны. \( D_1 > 0 \), значит, тройка имеет правую ориентацию. ### 2) \( \mathbf{a} = (3, 2, 1) \), \( \mathbf{b} = (5, 5, 5) \), \( \mathbf{c} = (0, -1, -2) \) \[ D_2 = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 5 & 5 & 5 \\ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix} = 3(5 \cdot (-2) - 5 \cdot (-1)) - 2(5 \cdot (-2) - 5 \cdot 0) + 1(5 \cdot (-1) - 5 \cdot 0) = 3(-10 + 5) - 2(-10) + (-5) = 3(-5) + 20 - 5 = -15 + 20 - 5 = 0 \] Определитель \( D_2 = 0 \), значит, векторы компланарны. ### 3) \( \mathbf{a} = (0, 6, 1) \), \( \mathbf{b} = (0, 2, 0) \), \( \mathbf{c} = (1, 1, 1) \) \[ D_3 = \begin{vmatrix} 0 & 6 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 + 6(0 - 1) + 1(0 - 0) = 0 - 6 = -6 \] Определитель \( D_3 \neq 0 \), следовательно, векторы не компланарны. \( D_3 < 0 \), значит, тройка имеет левую ориентацию. ### 4) \( \mathbf{a} = (1, 5, 1) \), \( \mathbf{b} = (1, 7, 1) \), \( \mathbf{c} = (2, 2, 1) \) \[ D_4 = \begin{vmatrix} 1 & 5 & 1 \\ 1 & 7 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1(7 \cdot 1 - 2 \cdot 1) - 5(1 \cdot 1 - 2 \cdot 1) + 1(1 \cdot 2 - 7 \cdot 1) = 1(7 - 2) - 5(1 - 2) + (2 - 7) = 5 + 5 - 5 = 5 \] Определитель \( D_4 \neq 0 \), следовательно, векторы не компланарны. \( D_4 > 0 \), значит, тройка имеет правую ориентацию. ### Результаты: 1) Не компланарны, правая ориентация. 2) Компланарны. 3) Не компланарны, левая ориентация. 4) Не компланарны, правая ориентация.