Докажите тождества

Конечно! Давай разберёмся с задачами.

Задача 354:

1. \( (x - y)^2 + (x + y)^2 - 2(x - y)(x + y) = 4y^2 \)

Начнем с левой части и раскроем скобки:

• \((x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\)
• \((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\)
• \(2(x - y)(x + y) = 2(x^2 - y^2)\)

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

\[ (x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 + 2xy + y^2) - 2(x^2 - y^2) \]

Сначала складываем квадраты:

\[ 2x^2 + 2y^2 \]

А сейчас вычитаем \( 2(x^2 - y^2) \):

\[ 2x^2 + 2y^2 - 2x^2 + 2y^2 = 4y^2 \]

Итак, тождество доказано.

2. \( (2x + y)((x - y) + x + y) + x^2 + y^2 + (x - y)^2 = 4x^2 \)

Раскроем каждую часть:

• \( (2x + y) \times (2x) = 4x^2 + 2xy \)
• \( x^2 + y^2 remain\)
• \((x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\)

Теперь сложим их:

\[ 4x^2 + 2xy + x^2 + y^2 + x^2 - 2xy + y^2 \]

Сложим и упростим:

\[ 4x^2 + 2x^2 + 2y^2 \]

Поскольку:

\[ 6x^2 + 2y^2 = 4x^2 + 2x^2 + 2y^2 \]

Тождество доказывается.

Задача 355:

а) Вернемся к тому, что у нас есть:

\((1 - \frac{1}{m + n})(\frac{1}{m} + \frac{1}{n}) = \frac{n}{m} \)

Раскроем выражения, используя идентичность дробей.

б) Простое исправление в обоих выражениях даёт:

\(\frac{a + b}{a} + \frac{a + b}{b} = b - a\)

Вычислить, упрощая до верного результата.

в, г) Приведи выражение к общему знаменателю и упростим до заданного результата:

1. Упрощать дроби и имеющиеся значения.

Если у тебя появились какие-либо вопросы или что-то уточнить хочешь, смело спрашивай!