Решить квадратные уравнения с помощью выделения квадрата двучлена 1) x2+12x+20=0 3) x²-16x+55=0 5) x²+8x+15=0 7) x²-14x+33=0 9) x²+10x+24=0
Решение квадратных уравнений с помощью выделения полного квадрата — это эффективный метод. Давайте рассмотрим каждое уравнение по порядку.
- Уравнение: \( x^2 + 12x + 20 = 0 \)
Сначала выделим полный квадрат:
\( x^2 + 12x \) можно записать как \( (x + 6)^2 - 36 \) (так как \( 6^2 = 36 \)).
Теперь подставим это в уравнение:
\[ (x + 6)^2 - 36 + 20 = 0 \]
Упрощаем:
\[ (x + 6)^2 - 16 = 0 \]
Добавляем 16 к обеим сторонам:
\[ (x + 6)^2 = 16 \]
Теперь извлекаем квадратный корень:
\[ x + 6 = \pm 4 \]
Решения:
\( x + 6 = 4 \) → \( x = -2 \)
\( x + 6 = -4 \) → \( x = -10 \)
Итак, решения: \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = -10 \).
- Уравнение: \( x^2 - 16x + 55 = 0 \)
Выделим квадрат:
\( x^2 - 16x \) можно записать как \( (x - 8)^2 - 64 \).
Теперь подставим это в уравнение:
\[ (x - 8)^2 - 64 + 55 = 0 \]
Упрощаем:
\[ (x - 8)^2 - 9 = 0 \]
Добавляем 9 к обеим сторонам:
\[ (x - 8)^2 = 9 \]
Извлекаем квадратный корень:
\[ x - 8 = \pm 3 \]
Решения:
\( x - 8 = 3 \) → \( x = 11 \)
\( x - 8 = -3 \) → \( x = 5 \)
Решения: \( x_1 = 11 \) и \( x_2 = 5 \).
- Уравнение: \( x^2 + 8x + 15 = 0 \)
Выделим квадрат:
\( x^2 + 8x \) можно записать как \( (x + 4)^2 - 16 \).
Теперь подставим это в уравнение:
\[ (x + 4)^2 - 16 + 15 = 0 \]
Упрощаем:
\[ (x + 4)^2 - 1 = 0 \]
Добавляем 1 к обеим сторонам:
\[ (x + 4)^2 = 1 \]
Извлекаем квадратный корень:
\[ x + 4 = \pm 1 \]
Решения:
\( x + 4 = 1 \) → \( x = -3 \)
\( x + 4 = -1 \) → \( x = -5 \)
Решения: \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = -5 \).
- Уравнение: \( x^2 - 14x + 33 = 0 \)
Выделим квадрат:
\( x^2 - 14x \) можно записать как \( (x - 7)^2 - 49 \).
Теперь подставим это в уравнение:
\[ (x - 7)^2 - 49 + 33 = 0 \]
Упрощаем:
\[ (x - 7)^2 - 16 = 0 \]
Добавляем 16 к обеим сторонам:
\[ (x - 7)^2 = 16 \]
Извлекаем квадратный корень:
\[ x - 7 = \pm 4 \]
Решения:
\( x - 7 = 4 \) → \( x = 11 \)
\( x - 7 = -4 \) → \( x = 3 \)
Решения: \( x_1 = 11 \) и \( x_2 = 3 \).
- Уравнение: \( x^2 + 10x + 24 = 0 \)
Выделим квадрат:
\( x^2 + 10x \) можно записать как \( (x + 5)^2 - 25 \).
Теперь подставим это в уравнение:
\[ (x + 5)^2 - 25 + 24 = 0 \]
Упрощаем:
\[ (x + 5)^2 - 1 = 0 \]
Добавляем 1 к обеим сторонам:
\[ (x + 5)^2 = 1 \]
Извлекаем квадратный корень:
\[ x + 5 = \pm 1 \]
Решения:
\( x + 5 = 1 \) → \( x = -4 \)
\( x + 5 = -1 \) → \( x = -6 \)
Решения: \( x_1 = -4 \) и \( x_2 = -6 \).
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно подробнее объяснить какой-либо шаг, не стесняйтесь спрашивать!
