прямые заданы каноническими уравнениями. Найдите косинус угла между ними.

Привет! Давай разберемся с задачей. Нам нужно найти косинус угла между двумя прямыми, задаными каноническими уравнениями.

У нас есть такие уравнения прямых:

1. \( L_1: \frac{x - 5}{1} = \frac{y - 1}{-4} = \frac{z + 7}{5} \)

2. \( L_2: \frac{x + 3}{0} = \frac{y - 4}{2} = \frac{z + 5}{-3} \)

Шаги решения:

1. Выделение направляющих векторов для каждой прямой:

   Для \( L_1 \): направляющий вектор \( \mathbf{a_1} = (1, -4, 5) \).

   Для \( L_2 \): направляющий вектор \( \mathbf{a_2} = (0, 2, -3) \).

2. Формула косинуса угла между двумя векторами:

   Косинус угла \( \theta \) между векторами \( \mathbf{a_1} \) и \( \mathbf{a_2} \) рассчитывается по формуле:

   \[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a_1} \cdot \mathbf{a_2}}{|\mathbf{a_1}| \cdot |\mathbf{a_2}|} \]

3. Скалярное произведение \( \mathbf{a_1} \cdot \mathbf{a_2} \):

   \[ \mathbf{a_1} \cdot \mathbf{a_2} = 1 \cdot 0 + (-4) \cdot 2 + 5 \cdot (-3) = 0 - 8 - 15 = -23 \]

4. Нахождение модулей векторов \( |\mathbf{a_1}| \) и \( |\mathbf{a_2}| \):

   \[ |\mathbf{a_1}| = \sqrt{1^2 + (-4)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 16 + 25} = \sqrt{42} \]

   \[ |\mathbf{a_2}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{0 + 4 + 9} = \sqrt{13} \]

5. Подсчет косинуса угла:

   \[ \cos(\theta) = \frac{-23}{\sqrt{42} \cdot \sqrt{13}} \]

Вот и всё! Мы нашли косинус угла между двумя прямыми. Если есть вопросы или что-то непонятно, всегда рад помочь!