Прямые заданы каноническими уравнениями. Найдите косинус угла между ними

Привет! Давай разберемся, как найти косинус угла между двумя прямыми. У нас есть две прямые, заданные каноническими уравнениями.

Прямые:

1. Для первой прямой \( l_1: \frac{x - 5}{1} = \frac{y - 1}{-4} = \frac{z + 7}{5} \).
2. Для второй прямой \( l_2: \frac{x + 3}{-4} = \frac{y - 4}{2} = \frac{z + 5}{-3} \).

Шаг 1: Найдем направляющие векторы этих прямых. Для первой: \( \vec{a_1} = (1, -4, 5) \). Для второй: \( \vec{a_2} = (-4, 2, -3) \).

Шаг 2: Косинус угла между векторами можно найти через скалярное произведение и длины векторов. Формула: \( \cos \theta = \frac{\vec{a_1} \cdot \vec{a_2}}{|\vec{a_1}| |\vec{a_2}|} \).

Шаг 3: Скалярное произведение: \[ \vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = 1 \times (-4) + (-4) \times 2 + 5 \times (-3) = -4 - 8 - 15 = -27. \]

Шаг 4: Длины векторов: \[ |\vec{a_1}| = \sqrt{1^2 + (-4)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 16 + 25} = \sqrt{42}. \] \[ |\vec{a_2}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 4 + 9} = \sqrt{29}. \]

Шаг 5: Подставляем значения в формулу: \[ \cos \theta = \frac{-27}{\sqrt{42} \times \sqrt{29}}. \]

Вот и всё! Так, пожалуй, будет легче разобраться с задачей. Если есть вопросы, спрашивай!