q

Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, нужно решить систему уравнений. У нас есть уравнение прямой и уравнение плоскости:

1. Уравнение прямой: \[ \frac{x-2}{5} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-5}{1} \]

2. Уравнение плоскости: \(3x + 4y + 5z - 29 = 0\)

Шаг 1: Выразим переменные \(x\), \(y\) и \(z\) через параметр \(t\) из уравнения прямой.

\[ x = 5t + 2 \] \[ y = 2t - 1 \] \[ z = t + 5 \]

Шаг 2: Подставим выражения \(x\), \(y\) и \(z\) в уравнение плоскости.

\[ 3(5t + 2) + 4(2t - 1) + 5(t + 5) - 29 = 0 \]

Шаг 3: Решим это уравнение для \(t\).

\[ 15t + 6 + 8t - 4 + 5t + 25 - 29 = 0 \] \[ 28t + (-2) = 0 \] \[ 28t = 2 \] \[ t = \frac{1}{14} \]

Шаг 4: Найдём значения \(x\), \(y\) и \(z\) для \(t = \frac{1}{14}\).

\[ x = 5\left(\frac{1}{14}\right) + 2 = \frac{5}{14} + \frac{28}{14} = \frac{33}{14} \] \[ y = 2\left(\frac{1}{14}\right) - 1 = \frac{2}{14} - \frac{14}{14} = -\frac{12}{14} = -\frac{6}{7} \] \[ z = \frac{1}{14} + 5 = \frac{1}{14} + \frac{70}{14} = \frac{71}{14} \]

Таким образом, точка \(M\) пересечения имеет координаты \(\left(\frac{33}{14}, -\frac{6}{7}, \frac{71}{14}\right)\).