Найдите точку М пересечения прямой и плоскости.

Привет! Давай решим задачу.

1. У нас есть прямая, заданная параметрически:
   \( \frac{x-2}{5} = \frac{y}{2} = \frac{z-5}{-1} = t \).

2. Плоскость задана уравнением:
   \( 3x - 4y + 5z - 29 = 0 \).

Мы ищем точку пересечения прямой и плоскости.

Шаги решения:

1. Вырази координаты точки на прямой через параметр \( t \):

   • \( x = 5t + 2 \)
   • \( y = 2t \)
   • \( z = -t + 5 \)

2. Подставь эти выражения в уравнение плоскости: \[ 3(5t + 2) - 4(2t) + 5(-t + 5) - 29 = 0 \]

3. Реши это уравнение для \( t \): \[ 15t + 6 - 8t - 5t + 25 - 29 = 0 \] \[ 2t + 2 = 0 \] \[ t = -1 \]

4. Найдем координаты точки \( M \), подставив \( t = -1 \) в уравнения прямой:

   • \( x = 5(-1) + 2 = -3 \)
   • \( y = 2(-1) = -2 \)
   • \( z = -(-1) + 5 = 6 \)

Проверим наши расчёты: Подставляем координаты \( (-3, -2, 6) \) в уравнение плоскости: \[ 3(-3) - 4(-2) + 5(6) - 29 = -9 + 8 + 30 - 29 = 0 \]

Координаты точки пересечения корректны. Точка \( M \) — это \( (-3, -2, 6) \).

Если есть вопросы или нужна помощь, дай знать! 😊