На каком расстоянии от поверхности Земли сила притяжения космического корабля к ней станет в 3 раза меньше , чем на поверхности Земли?
Для того чтобы узнать, на каком расстоянии от поверхности Земли сила притяжения космического корабля станет в 3 раза меньше, чем на поверхности, воспользуемся законом всемирного тяготения.
Сила притяжения \( F \) между двумя телами описывается формулой:
\[ F = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2} \]
где:
- \( G \) — гравитационная постоянная,
- \( m_1 \) и \( m_2 \) — массы тел,
- \( r \) — расстояние между центрами тел.
На поверхности Земли сила притяжения равна:
\[ F_0 = \frac{G \cdot M \cdot m}{R^2} \]
где:
- \( M \) — масса Земли,
- \( m \) — масса космического корабля,
- \( R \) — радиус Земли.
Чтобы сила притяжения стала в 3 раза меньше, нам нужно решить уравнение:
\[ F = \frac{F_0}{3} = \frac{G \cdot M \cdot m}{3R^2} \]
При увеличении расстояния до \( H \) (высота над поверхностью Земли), расстояние от центра Земли будет \( R + H \). Таким образом, сила притяжения на высоте \( H \) будет равна:
\[ F = \frac{G \cdot M \cdot m}{(R + H)^2} \]
Приравняем это выражение к одной трети силы на поверхности:
\[ \frac{G \cdot M \cdot m}{(R + H)^2} = \frac{G \cdot M \cdot m}{3R^2} \]
После сокращения \( G \), \( M \) и \( m \), у нас остается:
\[ \frac{1}{(R + H)^2} = \frac{1}{3R^2} \]
Теперь выполним пересчет:
\[ (R + H)^2 = 3R^2 \]
Извлекая корень, получаем:
\[ R + H = R \sqrt{3} \]
Таким образом, высота \( H \):
\[ H = R \sqrt{3} - R = R (\sqrt{3} - 1) \]
Теперь, если учесть, что радиус Земли \( R \) примерно равен 6400 км, подставим это значение:
\[ H \approx 6400 \cdot (\sqrt{3} - 1) \approx 6400 \cdot (1.732 - 1) \approx 6400 \cdot 0.732 \approx 4684.8 \text{ км} \]
Таким образом, расстояние от поверхности Земли, где сила притяжения космического корабля станет в 3 раза меньше, составляет приблизительно 4685 км.
