В автобусах пассажирам выдают билеты с четырехзначным номером, начиная с 1000. На номере 3000 заканчивается рулетка с билетами, кондуктор открывает новую, где нумерация вновь идет…

Чтобы найти количество «счастливых» билетов, которые может собрать Матрена из одной рулетки (с номерами от 1000 до 3000), нужно рассмотреть три условия, которые данный билет должен удовлетворять:

1. Первые две цифры номера билета должны образовывать число, кратное 10.
2. Сумма последних двух цифр должна быть кратна 4.
3. Весь номер билета должен быть кратен 3.

Теперь разберём каждое условие по порядку:

Условие 1: Первые две цифры

Билеты начинаются с 1000 и заканчиваются на 2999. Это означает, что первые две цифры могут быть следующими:

• 10
• 11
• 12
• 13
• 14
• 15
• 16
• 17
• 18
• 19
• 20
• 21
• 22
• 23
• 24
• 25
• 26
• 27
• 28
• 29

Из этих пар, кратные 10, это: 10, 20. Таким образом, возможные варианты для первых двух цифр — это 10 и 20.

Условие 2: Сумма последних двух цифр

Пусть последние две цифры номера билета обозначим как \(ab\), где \(a\) — десятки, а \(b\) — единицы. Сумма последних двух цифр будет равна \(a + b\). Нам нужно, чтобы эта сумма была кратна 4. Возможные значения для \(a\) (десятки) могут быть от 0 до 9, а для \(b\) (единицы) также от 0 до 9.

Мы можем перечислить все сочетания \(a\) и \(b\), где \(a + b\) кратно 4:

• Если \(a + b = 0\): (0, 0)
• Если \(a + b = 4\): (0, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0)
• Если \(a + b = 8\): (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1), (8, 0)

Таким образом, мы находим следующие пары: \( (0, 0), (0, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0), (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1), (8, 0) \). Всего у нас 15 подходящих комбинаций.

Условие 3: Кратность всего номера 3

Теперь надо проверить, чтобы весь номер билета был кратен 3. Номер билета имеет вид \(10ab\) (если 10) или \(20ab\) (если 20).

Кратность числа 3 определяется по сумме его цифр:

• Для номеров с первыми двумя цифрами 10: \(1 + 0 + a + b = 1 + a + b \)
• Для номеров с первыми двумя цифрами 20: \(2 + 0 + a + b = 2 + a + b \)

Теперь надо проверить каждую из 15 пар \( (a, b) \) относительно кратности 3 для каждого случая:

1. Для 10ab:

   • Сумма: \(1 + a + b \equiv 0 \pmod{3}\)

2. Для 20ab:

   • Сумма: \(2 + a + b \equiv 0 \pmod{3}\)

Теперь мы переберем имеющиеся пары и найдем все подходящие.

Подсчёт

Для каждой пары \( (a,b) \) надо будет проверить оба условия, и если они выполняются, считаем такую пару.

Результат будет зависеть от того, сколько удачных сочетаний будет найдено.

Итак, для точного подсчёта необходимо привести все пары в соответствие с условиями и посчитать их количество. Полученное общее количество «счастливых» билетов можно подсчитать по вышеописанным правилам. Каждый найденный случай будет соответствовать одному «счастливому» билету.