В прямоугольнике длина на 5 см больше ширины. Если длину уменьшить на 2 см, а ширину увеличить на 1 см, то площадь прямоугольника увеличится на 1 см². Найдите периметр исходного прямоугольника
Давайте обозначим ширину прямоугольника через \( x \) см. Тогда длина будет \( x + 5 \) см, так как она на 5 см больше ширины.
Сначала вычислим площадь исходного прямоугольника:
\[ S_1 = x \cdot (x + 5) = x^2 + 5x \]
Теперь, по условию задачи, если длину уменьшить на 2 см, а ширину увеличить на 1 см, то новые размеры будут:
- новая длина: \( (x + 5) - 2 = x + 3 \) см,
- новая ширина: \( x + 1 \) см.
Теперь мы можем вычислить площадь нового прямоугольника:
\[ S_2 = (x + 1)(x + 3) = x^2 + 4x + 3 \]
Согласно условию, площадь увеличивается на 1 см², поэтому можно записать уравнение:
\[ S_2 = S_1 + 1 \]
Подставляя значения, получаем:
\[ x^2 + 4x + 3 = x^2 + 5x + 1 \]
Упростим это уравнение:
\[ x^2 + 4x + 3 - x^2 - 5x - 1 = 0 \]
Сократим:
\[ - x + 2 = 0 \implies x = 2 \]
Теперь, зная ширину \( x \), можем найти длину:
\[ длина = x + 5 = 2 + 5 = 7 \text{ см}. \]
Теперь найдем периметр исходного прямоугольника по формуле:
\[ P = 2 \cdot (ширина + длина) = 2 \cdot (2 + 7) = 2 \cdot 9 = 18 \text{ см}. \]
Итак, периметр исходного прямоугольника равен 18 см.
