Давайте разберемся с вашим вопросом. В предложении, где глагол является дополнением, он выполняет роль, аналогичную существительному, то есть обозначает действие, которое направлено на объект.
Теперь рассмотрим ваши варианты:
Петя начал учиться в школе. - Здесь "учиться" является инфинитивом и обозначает действие, которое выполняет Петя, но не является дополнением.
Я прошу вас прочесть статью. - В этом предложении "прочесть" является дополнением к глаголу "прошу". Мы просим (что?) прочесть.
Мы поехали за город подышать свежим воздухом. - "Подышать" здесь выражает цель поездки, но не является дополнением к глаголу "поехали".
Были у меня и личные причины поехать к брату. - В этом предложении "поехать" также не является дополнением.
Таким образом, правильный ответ — это второй вариант: "Я прошу вас прочесть статью," где глагол "прочесть" выступает в роли дополнения.
Если у вас есть еще вопросы или требуется дополнительное объяснение, не стесняйтесь задавать!
