Решить системы уравнений х-у=2 х^2-2у=12 х+у=5 ху=-14 х^2+у^2=26 х-у=4

Давайте решим каждую из предложенных систем уравнений поочередно.

Система 1:

1. \( x - y = 2 \)
2. \( x^2 - 2y = 12 \)

Первое уравнение можно выразить через \( x \): \[ x = y + 2 \]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение: \[ (y + 2)^2 - 2y = 12 \]

Раскроем скобки: \[ y^2 + 4y + 4 - 2y = 12 \] \[ y^2 + 2y + 4 - 12 = 0 \] \[ y^2 + 2y - 8 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение по формуле: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1, b = 2, c = -8 \): \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} \] \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} \] \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ y = \frac{-2 \pm 6}{2} \]

Таким образом, \( y_1 = \frac{4}{2} = 2 \) и \( y_2 = \frac{-8}{2} = -4 \).

Теперь подставим значения \( y \) обратно в первое уравнение для нахождения \( x \):

1. Если \( y = 2, x = 2 + 2 = 4 \)
2. Если \( y = -4, x = -4 + 2 = -2 \)

Решения для первой системы:

1. \( (x, y) = (4, 2) \)
2. \( (x, y) = (-2, -4) \)

Система 2:

1. \( x + y = 5 \)
2. \( xy = -14 \)

Из первого уравнения выразим \( y \): \[ y = 5 - x \]

Подставим это значение во второе уравнение: \[ x(5 - x) = -14 \] \[ 5x - x^2 = -14 \] \[ x^2 - 5x - 14 = 0 \]

Решаем квадратичное уравнение: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2} \] \[ x = \frac{5 \pm 9}{2} \]

Таким образом, \( x_1 = \frac{14}{2} = 7 \) и \( x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \).

Теперь найдем соответствующие значения \( y \):

1. Если \( x = 7, y = 5 - 7 = -2 \)
2. Если \( x = -2, y = 5 - (-2) = 7 \)

Решения для второй системы:

1. \( (x, y) = (7, -2) \)
2. \( (x, y) = (-2, 7) \)

Система 3:

1. \( x^2 + y^2 = 26 \)
2. \( x - y = 4 \)

Сначала выразим \( x \) через \( y \): \[ x = y + 4 \]

Теперь подставим это значение в первое уравнение: \[ (y + 4)^2 + y^2 = 26 \] \[ y^2 + 8y + 16 + y^2 = 26 \] \[ 2y^2 + 8y + 16 - 26 = 0 \] \[ 2y^2 + 8y - 10 = 0 \] \[ y^2 + 4y - 5 = 0 \]

Решим квадратное уравнение: \[ y = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} \] \[ y = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} \] \[ y = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ y = \frac{-4 \pm 6}{2} \]

Таким образом, \( y_1 = \frac{2}{2} = 1 \) и \( y_2 = \frac{-10}{2} = -5 \).

Найдём значения \( x \):

1. Если \( y = 1, x = 1 + 4 = 5 \)
2. Если \( y = -5, x = -5 + 4 = -1 \)

Решения для третьей системы:

1. \( (x, y) = (5, 1) \)
2. \( (x, y) = (-1, -5) \)

Таким образом, у нас есть решения для всех трех систем уравнений. Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими уравнениями, пишите!