-x²-6x-5>0 Решить методом интервала
Для решения неравенства \(-x^2 - 6x - 5 > 0\) методом интервалов, сначала упростим его. Перепишем неравенство, умножив обе стороны на -1 (не забываем изменить знак неравенства):
\[ x^2 + 6x + 5 < 0. \]
Теперь необходимо найти корни квадратного уравнения \(x^2 + 6x + 5 = 0\). Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = 5\).
Сначала вычислим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16. \]
Теперь находим корни уравнения:
\[ x_1 = \frac{-6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1, \] \[ x_2 = \frac{-6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5. \]
Таким образом, корни уравнения \(x^2 + 6x + 5 = 0\) — это \(x_1 = -1\) и \(x_2 = -5\).
Теперь мы знаем, что парабола \(x^2 + 6x + 5\) открыта вверх (так как коэффициент при \(x^2\) положительный) и пересекает ось \(x\) в точках \(-1\) и \(-5\).
Разделим числовую ось на интервалы, используя корни:
- \((- \infty, -5)\)
- \((-5, -1)\)
- \((-1, +\infty)\)
Теперь нужно проверить знаки выражения \(x^2 + 6x + 5\) на каждом из интервалов.
Для \(x < -5\) (например, \(x = -6\)): \[ (-6)^2 + 6(-6) + 5 = 36 - 36 + 5 = 5 > 0. \]
Для \(-5 < x < -1\) (например, \(x = -3\)): \[ (-3)^2 + 6(-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 < 0. \]
Для \(x > -1\) (например, \(x = 0\)): \[ 0^2 + 6(0) + 5 = 5 > 0. \]
Теперь мы можем записать знак на каждом интервале:
- На интервале \((- \infty, -5)\) — положительный.
- На интервале \((-5, -1)\) — отрицательный.
- На интервале \((-1, +\infty)\) — положительный.
Неравенство \(x^2 + 6x + 5 < 0\) выполняется только на промежутке \((-5, -1)\).
Таким образом, решение неравенства \(-x^2 - 6x - 5 > 0\) выражается следующим образом:
\[ \boxed{(-5, -1)}. \]
