3x²-7x+4<=0 Решить методом интервала
Для решения неравенства \( 3x^2 - 7x + 4 \leq 0 \) методом интервалов, следуем следующим шагам:
Найдем корни квадратного уравнения: Сначала решим уравнение \( 3x^2 - 7x + 4 = 0 \) с помощью дискриминанта.
Дискриминант \( D \) равен:
\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1 \]
Поскольку дискриминант положителен, у нас есть два различных корня.
Вычислим корни уравнения: Корни находятся по формуле:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \]
Для нашего уравнения это будет:
\[ x_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \]
\[ x_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]
Итак, корни: \( x_1 = \frac{4}{3} \) и \( x_2 = 1 \).
Наносим корни на числовую прямую и определяем интервалы: Мы получаем три интервала:
- \( (-\infty; 1) \)
- \( (1; \frac{4}{3}) \)
- \( (\frac{4}{3}; +\infty) \)
Проверим знак функции на каждом интервале:
- Для интервала \( (-\infty; 1) \): Возьмем, например, \( x = 0 \): \[ 3(0)^2 - 7(0) + 4 = 4 > 0 \]
- Для интервала \( (1; \frac{4}{3}) \): Возьмем, например, \( x = 1.1 \): \[ 3(1.1)^2 - 7(1.1) + 4 \approx 3(1.21) - 7.7 + 4 \approx 3.63 - 7.7 + 4 \approx -0.07 < 0 \]
- Для интервала \( (\frac{4}{3}; +\infty) \): Возьмем, например, \( x = 2 \): \[ 3(2)^2 - 7(2) + 4 = 12 - 14 + 4 = 2 > 0 \]
Определим, где неравенство выполняется: Неравенство \( 3x^2 - 7x + 4 \leq 0 \) выполняется в интервале \( (1; \frac{4}{3}) \) и в точках, где функция равна нулю, то есть \( x = 1 \) и \( x = \frac{4}{3} \).
Ответ: Решение неравенства \( 3x^2 - 7x + 4 \leq 0 \): \[ x \in [1; \frac{4}{3}] \]
Этот интервал включает границы, так как неравенство включает знак "равно".
