А как перевести десятичную периодическую дробь 3,(7) обыкновенную дробь

Чтобы перевести десятичную периодическую дробь 3,(7) в обыкновенную дробь, следуем следующему алгоритму:

1. Обозначим дробь. Пусть \( x = 3,77777...\) (где «7» повторяется бесконечно).

2. Удалим целую часть. Для удобства выделим целую часть: \[ x = 3 + 0,77777... \] Здесь \( 0,77777...\) — периодическая часть.

3. Работа с периодической частью. Обозначим \( y = 0,77777...\). Теперь нам нужно выразить \( y\) как обыкновенную дробь: \[ y = 0,77777... \] Умножим обе стороны на 10: \[ 10y = 7,77777... \] Теперь у нас есть два уравнения: \[ y = 0,77777... \] \[ 10y = 7,77777... \]

4. Вычтем первое уравнение из второго: \[ 10y - y = 7,77777... - 0,77777... \] Это дает: \[ 9y = 7 \] Отсюда \( y = \frac{7}{9} \).

5. Теперь вернемся к нашему \( x\): \[ x = 3 + y = 3 + \frac{7}{9} \]

6. Сложим дроби. Для этого представим \( 3\) как дробь с тем же знаменателем: \[ 3 = \frac{27}{9} \] Теперь складываем: \[ x = \frac{27}{9} + \frac{7}{9} = \frac{34}{9} \]

Таким образом, десятичная периодическая дробь \( 3,(7)\) в обыкновенной дроби равна \( \frac{34}{9} \).