(x+y) ^2 * (x-y) ^3 =1 в точке (0;-1) составить уравнение нормали к кривой
Для того чтобы составить уравнение нормали к кривой в точке (0, -1), нам нужно сначала найти производную функции, чтобы определить наклон касательной в этой точке, а потом использовать его для вычисления наклона нормали.
Начнем с того, что у нас есть выражение: \[(x + y)^2 * (x - y)^3 = 1.\]
Применим неявное дифференцирование. Поиск производной этого уравнения может быть непростым, поэтому давайте продифференцируем обе стороны уравнения по \(x\):
\[ \frac{d}{dx} \left( (x+y)^2 (x-y)^3 \right) = 0. \]
Используя правило произведения, мы получаем:
\[ 2(x + y) \frac{d}{dx}(x + y)(x - y)^3 + (x + y)^2 \frac{d}{dx}(x - y)^3 = 0. \]
Теперь вычислим производные:
\[ \frac{d}{dx}(x + y) = 1 + \frac{dy}{dx}, \] \[ \frac{d}{dx}(x - y) = 1 - \frac{dy}{dx}. \]
Теперь подставим эти производные в уравнение:
\[ 2(x + y)(1 + \frac{dy}{dx})(x - y)^3 + 3(x + y)^2(x - y)^2(1 - \frac{dy}{dx}) = 0. \]
- Подставим точку (0, -1):
\[ x = 0, \quad y = -1. \]
Посчитаем значения \( (x + y) \) и \( (x - y) \):
\[ x + y = 0 - 1 = -1, \] \[ x - y = 0 + 1 = 1. \]
Подставляя в уравнение, мы получаем:
\[ 2(-1)(1 + \frac{dy}{dx})(1)^3 + 3(-1)^2(1)^2(1 - \frac{dy}{dx}) = 0, \] что упрощается до:
\[ -2(1 + \frac{dy}{dx}) + 3(1 - \frac{dy}{dx}) = 0. \]
- Раскроем скобки:
\[ -2 - 2\frac{dy}{dx} + 3 - 3\frac{dy}{dx} = 0. \]
Соберем подобные:
\[ 1 - 5\frac{dy}{dx} = 0. \]
Отсюда:
\[ 5\frac{dy}{dx} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{5}. \]
- Наклон касательной в точке (0, -1) равен \( \frac{1}{5} \). Наклон нормали будет обратным и отрицательным:
\[ m_{нормали} = -5. \]
- Теперь можем записать уравнение нормали в точке (0, -1) в форме:
\[ y - y_0 = m(x - x_0), \]
где \( (x_0, y_0) = (0, -1) \):
\[ y - (-1) = -5(x - 0). \]
- Упростим это уравнение:
\[ y + 1 = -5x. \]
Или
\[ y = -5x - 1. \]
Таким образом, уравнение нормали к кривой в точке (0, -1) равно \( y = -5x - 1 \).
